Comportamento di una serie
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto circa il carattere di questa serie: $sum ln(1+1/(n^3))$
Ho come l'impressione che sia convergente, ma non riesco a mostrarlo. E' una serie a termini non negativi, ma purtroppo non mi viene nessun idea valida.
Grazie dell'aiuto
Ho come l'impressione che sia convergente, ma non riesco a mostrarlo. E' una serie a termini non negativi, ma purtroppo non mi viene nessun idea valida.
Grazie dell'aiuto
Risposte
per $n->+oo$, $1/n^3 ->0$ pertanto $ln(1+1/n^3) ~= 1/n^3$ ($sum 1/n^3$ ovviamente converge)
Impressione corretta
Impressione corretta
Capito. Ti ringrazio
Vediamo se ho capito bene:
Se ho la serie $sum (1/n sin(1/(n+1))$.
per $n -> infty$ si ha $sin(1/(n+1)) -> 0$ e quindi $sin (1/(n+1)) \cong 1/(n+1)$ da cui la serie diventa $1/(n^2+n)$ che per il criterio di Cauchy converge.
E' giusto? Esistono altre vie per giungere a questo risultato?
Grazie ancora
Se ho la serie $sum (1/n sin(1/(n+1))$.
per $n -> infty$ si ha $sin(1/(n+1)) -> 0$ e quindi $sin (1/(n+1)) \cong 1/(n+1)$ da cui la serie diventa $1/(n^2+n)$ che per il criterio di Cauchy converge.
E' giusto? Esistono altre vie per giungere a questo risultato?
Grazie ancora
"mistake89":
per $n -> infty$ si ha $sin(1/(n+1)) -> 0$ e quindi $sin (1/(n+1)) \cong 1/(n+1)$ da cui la serie diventa $1/(n^2+n)$ che per il criterio di Cauchy converge.
Non esattamente!
se $k->0$, allora $sin(k) ~= k$ quindi è l'argomento del seno che deve tendere a 0, perché $lim_(k->0) sin(k)/k = 1$ (ovvero sono asintoticamente equivalenti in 0).
Ma non vale mica per tutte le funzioni.. ad esempio se $k->0$, è assolutamente falso che $cos(k) ~= k$, mentre è vero $cos(k) ~= k^2/2$.
Occhio ad applicare le equivalenze asintotiche correttamente!
EDIT: Inoltre non è proprio bello dire "la serie diventa". Piuttosto diciamo che la successione dei termini generali della serie è asintoticamente equivalente alla successione trovata, pertanto le due serie hanno lo stesso comportamento (per il criterio del confronto asintotico!).
Hai ragione, in tutte le osservazioni. Mi sono espresso male, ma hai fatto bene ad esplicitare.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Scusate nuovamente ma avrei un problema con un'altra serie
$sum (n!)^(-1/n)$
E' una serie a termini positivi, ma non sono riuscito a determinarne il carattere (so che è divergente!). Ho provato anche utilizzando il criterio di condensazione di Cauchy ma non sono riuscito ad ottenere alcun risultato. Qualche suggerimento?
Grazie
$sum (n!)^(-1/n)$
E' una serie a termini positivi, ma non sono riuscito a determinarne il carattere (so che è divergente!). Ho provato anche utilizzando il criterio di condensazione di Cauchy ma non sono riuscito ad ottenere alcun risultato. Qualche suggerimento?
Grazie
Vediamo un po' se l'idea che ho partorito è corretta. Grazie Dissonance per le dritte, non le conoscevo proprio queste stime di Stirling
Allora io so che $n! <= n(n/e)^n$ entrambe a termini positivi. Pertanto $1/(n!) >= 1/(n(n/e)^n)$ da cui sia ha $1/(n!)^(1/n) >= e/(root(n)(n)n) >0$
Ma quest'ultima serie diverge, infatti $lim_n n e/(root(n)(n)n)=e$, quindi divergerà anche $1/(n!)^(1/n)$
Che dite va bene?
Allora io so che $n! <= n(n/e)^n$ entrambe a termini positivi. Pertanto $1/(n!) >= 1/(n(n/e)^n)$ da cui sia ha $1/(n!)^(1/n) >= e/(root(n)(n)n) >0$
Ma quest'ultima serie diverge, infatti $lim_n n e/(root(n)(n)n)=e$, quindi divergerà anche $1/(n!)^(1/n)$
Che dite va bene?
Si, va bene. Magari specifica che hai usato il confronto asintotico con la serie $sum 1/n$, per rendere più agevole la lettura; questo proprio se cerchi il pelo nell'uovo.
Per quanto riguarda quelle stime per il fattoriale, su Wikipedia sembrano qualcosa di incredibilmente complicato ma in realtà l'idea di fondo è semplicissima. Prendi $log (n!)$: questo è uguale a $sum_{k=1}^n log(k)$, ovvero all'area di questa figura:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=1; axes("label"); fill="cyan"; rect([0, 0], [1, 0]); rect([1,0],[2, 0.30]); rect([2, 0], [3, 0.47]); rect([3, 0], [4, 0.60]); rect([4,0], [5, 0.69]);[/asvg]
l'approssimazione consiste nello stimare quest'area con l'area sottesa dal grafico di $log(x)$ e dal grafico di $log(x+1)$ (mi pare - sto facendo i conti a mente e vado un po' di fretta). Queste ultime aree le sai calcolare, perché conosci una primitiva di $log x$, e quindi sei a cavallo.
Per quanto riguarda quelle stime per il fattoriale, su Wikipedia sembrano qualcosa di incredibilmente complicato ma in realtà l'idea di fondo è semplicissima. Prendi $log (n!)$: questo è uguale a $sum_{k=1}^n log(k)$, ovvero all'area di questa figura:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=1; axes("label"); fill="cyan"; rect([0, 0], [1, 0]); rect([1,0],[2, 0.30]); rect([2, 0], [3, 0.47]); rect([3, 0], [4, 0.60]); rect([4,0], [5, 0.69]);[/asvg]
l'approssimazione consiste nello stimare quest'area con l'area sottesa dal grafico di $log(x)$ e dal grafico di $log(x+1)$ (mi pare - sto facendo i conti a mente e vado un po' di fretta). Queste ultime aree le sai calcolare, perché conosci una primitiva di $log x$, e quindi sei a cavallo.
Perfetto Dissonance. Tutto chiaro.
Grazie ancora
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