Comportamento di (n+1)^2!
Serie
Risposte
Ciao Salvy,
No. Per rendertene conto facilmente prova con $n = 1 $
Se posti direttamente la serie possiamo darci un'occhiata...
"Salvy":
è giusto dire che $(n+1)^2! = (n+1)^2(n^2)! $
No. Per rendertene conto facilmente prova con $n = 1 $
Se posti direttamente la serie possiamo darci un'occhiata...
Che valga l'uguaglianza $(n+1)^2 ! = (n+1)^2 \cdot (n^2)!$ è falso già per $n=1$...
La serie è questa
$ sum^( oo \)
((n^2)!)/(n^n +2) $
Ho applicato il criterio del rapporto ma non so come scomporre/semplificare quel fattoriale quando sostituisco n+1
$ sum^( oo \)
((n^2)!)/(n^n +2) $
Ho applicato il criterio del rapporto ma non so come scomporre/semplificare quel fattoriale quando sostituisco n+1
Tieni presente gli ordini https://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asi ... i_infinito e applicali
Per n ad infinito quel rapporto deve andare a zero.
Errata corrige...parrebbe andare a zero, ma c'è un quadrato al numeratore, doh!
Per n ad infinito quel rapporto deve andare a zero.
Errata corrige...parrebbe andare a zero, ma c'è un quadrato al numeratore, doh!
Non va a 0
Conviene usare l’approssimazione di Stirling per vedere cosa succede in $lim_n a_n$.
Si sa che $k! approx S k^(k + 1/2) e^(-k)$ con $S>0$ costante opportuna, dunque vale la stima:
\[
(n^2)! \approx S\ (n^2)^{n^2 + 1/2}\ e^{-n^2} = S\ n^{2n^2 +1}\ e^{-n^2}
\]
e perciò $a_n approx (S\ n^{2n^2 +1}\ e^{-n^2})/(n^n) = S\ n^{2n^2 - n +1}\ e^{-n^2} -> +oo$ e la serie diverge.
Si sa che $k! approx S k^(k + 1/2) e^(-k)$ con $S>0$ costante opportuna, dunque vale la stima:
\[
(n^2)! \approx S\ (n^2)^{n^2 + 1/2}\ e^{-n^2} = S\ n^{2n^2 +1}\ e^{-n^2}
\]
e perciò $a_n approx (S\ n^{2n^2 +1}\ e^{-n^2})/(n^n) = S\ n^{2n^2 - n +1}\ e^{-n^2} -> +oo$ e la serie diverge.
Non riesco a capire come approssimi (n^2)!, potresti fare tutti i passaggi?
Basta sostituire $k=n^2$ nella formula di Stirling.
Si ma in quale forma della formula di stirling compare la "k"?
Questa:
si chiama formula (o approssimazione) di Stirling.
Come vedi, ho usato $k$ come variabile, in modo da non confonderla con la $n$ dei tuoi addendi.
"gugo82":
$k! approx S k^(k + 1/2) e^(-k)$ con $S>0$ costante opportuna
si chiama formula (o approssimazione) di Stirling.
Come vedi, ho usato $k$ come variabile, in modo da non confonderla con la $n$ dei tuoi addendi.
Scusami ancora la S che hai scritto tu cosa sta ad indicare?
Sembra indicato, ma ti rispondo con una domanda: sai leggere?
Perché c'è scritto.
Perché c'è scritto.
Ripeto la domanda, la S a cosa mi serve?
"Salvy":
Ripeto la domanda [...]
“Ripeto”... Beh, ma:
"Salvy":
la S a cosa mi serve?
è una domanda alquanto diversa dalla precedente:
"Salvy":
la S che hai scritto tu cosa sta ad indicare?
Quindi, tecnicamente parlando, non stai “ripetendo” nulla; hai proprio cambiato domanda.
Ad ogni buon conto, la $S$ (che precisamente è $=sqrt(2 pi)$) è la costante che serve a far tornare l’equivalenza asintotica in maniera precisa, cioè in modo che $lim_n (n!)/(S n^(n+1/2) e^(-n)) = 1$.
Chiaramente, nell’economia dello svolgimento dell’esercizio, la $S$ non serve a nulla... Ma questo è un altro discorso ancora, che risponderebbe ad un’altra domanda:
la S a cosa mi serve in questo calcolo?
Un’altra domanda interessante potrebbe essere:
la S perché l’hai chiamata così?
Ed io risponderei: perché la determinazione della costante che rende precisa l’equivalenza asintotica è stato il contributo fondamentale che James Stirling ha dato alla formula, la quale è stata scoperta da Abraham de Moivre nonostante si chiami formula di Stirling. Si potrebbe discettare a lungo sui motivi campanilistici che hanno portato i matematici anglosassoni ad attribuire a Stirling la paternità della formula... Ma questo è un altro discorso ancora, che risponderebbe alla domanda:
perché non si attribuiscono i nomi corretti alle cose?
E la risposta sarebbe: per lo stesso motivo per cui tu hai usato il verbo “ripetere” al posto di “cambiare domanda”.
Ti stimo, grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo