Comportamento asintotico trasformata
Su questo sito ho trovato delle dispense che stavo provando a studiare:
http://wwwteor.mi.infn.it/~bassetti/stat.html
Andando su "campo medio", parte 4... a pagg. 14-15.
Se nn avete voglia di leggere il tutto, a pag.15 in alto c'è una formual che è essenzialmente una trasformata di fuorier di una funzione definita nella pagina precedente... (a parte l'intervallo di integrazione che spero si possa considerare R^n nei calcoli, anche se ciò nn mi è chiaro)...
Le domanda è:
1) perchè dice che il comportamento a grandi r deriva da quello dell'integranda a piccoli p e perchè è lecito sviluppare la funzione? Intuitivamente direi che è così perchè a piccoli p quella funzione si comporta peggio, con la derivata che cresce, e quindi Riemann-Lesbegue (o qualche equivalente a più dimensioni) ha più "difficoltà" in questa regione a mandare a 0 l'integrale e quindi porterà il termine più rilevante. Ma è vero? e se si, come si formalizza il ragionamento?... o meglio... esiste qualche teorema?
http://wwwteor.mi.infn.it/~bassetti/stat.html
Andando su "campo medio", parte 4... a pagg. 14-15.
Se nn avete voglia di leggere il tutto, a pag.15 in alto c'è una formual che è essenzialmente una trasformata di fuorier di una funzione definita nella pagina precedente... (a parte l'intervallo di integrazione che spero si possa considerare R^n nei calcoli, anche se ciò nn mi è chiaro)...
Le domanda è:
1) perchè dice che il comportamento a grandi r deriva da quello dell'integranda a piccoli p e perchè è lecito sviluppare la funzione? Intuitivamente direi che è così perchè a piccoli p quella funzione si comporta peggio, con la derivata che cresce, e quindi Riemann-Lesbegue (o qualche equivalente a più dimensioni) ha più "difficoltà" in questa regione a mandare a 0 l'integrale e quindi porterà il termine più rilevante. Ma è vero? e se si, come si formalizza il ragionamento?... o meglio... esiste qualche teorema?
Risposte
Pian piano sto chiarendo un pò di punti.... uno però pensavo mi fosse chiaro ma nn lo era....
Se andata a pag.14 in basso. Si vuole trovare l'inverso di $A_(I,K)$, che è una funzione da Z^2 in C, ma usata in forma matriciale (l'inverso essendo quindi visto "nel senso delle matrici"), L'interpretazione credo sia questan data anche la formula che compare a metà pagina.... (della prima metà sbattetevene, nn è utile per la domanda).Per questo usa la trasformata di Fourier discreta.
Ora nn capisco: si calcola la trasformata di $A$ e gli viene proporzionale alla delta per un fattore... (che peraltro ritengo sia sbagliato, quel $^(-1)$ nella formual finale nn lo capisco, voi che dite?)...
A questo punto come si passa a dire che l'inverso della matrice A è la formula a pag.15 in alto?
A me veniva in mente di leggere $A(tilde)g(tilde)=\delta$ ed anti-trasformare i due membri , dove la tilde indica la trasformata. A sinistra otterrò la convoluzione delle due DTFT però e nn il prodotto matriciale....
dai questa domanda dovrebbe essere più facile dell'altra... plz
Se andata a pag.14 in basso. Si vuole trovare l'inverso di $A_(I,K)$, che è una funzione da Z^2 in C, ma usata in forma matriciale (l'inverso essendo quindi visto "nel senso delle matrici"), L'interpretazione credo sia questan data anche la formula che compare a metà pagina.... (della prima metà sbattetevene, nn è utile per la domanda).Per questo usa la trasformata di Fourier discreta.
Ora nn capisco: si calcola la trasformata di $A$ e gli viene proporzionale alla delta per un fattore... (che peraltro ritengo sia sbagliato, quel $^(-1)$ nella formual finale nn lo capisco, voi che dite?)...
A questo punto come si passa a dire che l'inverso della matrice A è la formula a pag.15 in alto?
A me veniva in mente di leggere $A(tilde)g(tilde)=\delta$ ed anti-trasformare i due membri , dove la tilde indica la trasformata. A sinistra otterrò la convoluzione delle due DTFT però e nn il prodotto matriciale....
dai questa domanda dovrebbe essere più facile dell'altra... plz
boh...
immaginano la trasformata come un "cambiamento di base" un pò mi convinco..... ma boh....... nn trovo info in merito da nessuna parte...
immaginano la trasformata come un "cambiamento di base" un pò mi convinco..... ma boh....... nn trovo info in merito da nessuna parte...
Hola credo di aver capito come si risolve la questione...
Prima di tutto, scriviamo l'equazione in un modo decente (copiando le notazioni di Parisi), che credo siano state le notazioni a farmi far chiarezza (spero)...Pongo $\beta=1$ per comodità. Da ora in poi con le lettere maiuscole indico vettori in $R^2$ e matrici.
L'operatore definito sul reticolo è:
$F(M,K)=\delta(M,K)-J(M,K)$
dove $J(M,K)=J$ se $M$ e $K$ sono adiacenti, zero altrimenti.
$F$ può essere visto anche come una matrice a due dimensioni infinita, se l'indica $M$ indicizza la riga e l'indice $K$ la colonna.
Trovare l'inverso di $F$, vuol dire trovare $A$ t.c.:
$\sum_k F(I,K)A(K,L)=\Delta(I,L)$
e a questo punto sia a destra che a sinistra abbiamo queste "matrici", che ora possiamo scordare cosa sono e vederle come operatori da $Z^2xZ^2$ in $C$. In quanto tali, trasformiamo con la discrete time fourier transform, ottenendo a destra $\delta(T_1-T_2)$ o qualcosa di simile, nn li ho svolti bene i calcoli, mi bastava capire (NB: $T_i$, che forse nn l'ho ancora presentato, è la variabile della trasformata, o meglio, questa è $(T_1,T_2)$, e $T_i$ appartiene a $[-\pi,pi]^2$!!!!)
A sinistra invece:
$\sum_(M_1,M_2)exp(iM_1*T_1+iM_2*T_2)\sum_k [\delta(M_1,K)-J(M_1,K)]A(K,M_2)$
e ora si svolgono i calcoli, usando il fatto che l'ipotesi sulla matrice $J$ vuol dire che si salvano nella sommatoria su $K$ (che ricordo essere vettori di R^2!) solo i $K$ uguali ad $M_1+e_i$ con $e_i$ elemento della base euclidea di $R^2$.
Ora si esplicita dall'equazione l'espressione della trasformata di fourier di A, ovvero $A'(T1,T2)$... e poi anti-trasformando questa si trova l'espressione integrale...
Prima di tutto, scriviamo l'equazione in un modo decente (copiando le notazioni di Parisi), che credo siano state le notazioni a farmi far chiarezza (spero)...Pongo $\beta=1$ per comodità. Da ora in poi con le lettere maiuscole indico vettori in $R^2$ e matrici.
L'operatore definito sul reticolo è:
$F(M,K)=\delta(M,K)-J(M,K)$
dove $J(M,K)=J$ se $M$ e $K$ sono adiacenti, zero altrimenti.
$F$ può essere visto anche come una matrice a due dimensioni infinita, se l'indica $M$ indicizza la riga e l'indice $K$ la colonna.
Trovare l'inverso di $F$, vuol dire trovare $A$ t.c.:
$\sum_k F(I,K)A(K,L)=\Delta(I,L)$
e a questo punto sia a destra che a sinistra abbiamo queste "matrici", che ora possiamo scordare cosa sono e vederle come operatori da $Z^2xZ^2$ in $C$. In quanto tali, trasformiamo con la discrete time fourier transform, ottenendo a destra $\delta(T_1-T_2)$ o qualcosa di simile, nn li ho svolti bene i calcoli, mi bastava capire (NB: $T_i$, che forse nn l'ho ancora presentato, è la variabile della trasformata, o meglio, questa è $(T_1,T_2)$, e $T_i$ appartiene a $[-\pi,pi]^2$!!!!)
A sinistra invece:
$\sum_(M_1,M_2)exp(iM_1*T_1+iM_2*T_2)\sum_k [\delta(M_1,K)-J(M_1,K)]A(K,M_2)$
e ora si svolgono i calcoli, usando il fatto che l'ipotesi sulla matrice $J$ vuol dire che si salvano nella sommatoria su $K$ (che ricordo essere vettori di R^2!) solo i $K$ uguali ad $M_1+e_i$ con $e_i$ elemento della base euclidea di $R^2$.
Ora si esplicita dall'equazione l'espressione della trasformata di fourier di A, ovvero $A'(T1,T2)$... e poi anti-trasformando questa si trova l'espressione integrale...
in realtà poi i calcoli che ci sono sul pdf nn mi sono ancora ben chiari, cmq il risultato è uguale a quello che si ottiene col metodo sopra ed i calcoli qualitativamente analoghi... ergo mi ritengo soddisfatto...
Commenti? vi pare corretto?
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