Comportamento asintotico e asintiti obliqui

[raxell1]

Ho alcuni dubbi nel trovare gli asintoti obliqui tramite il comportamento asintotico.
Mettiamo caso che ho una funzione $ f(x) = x + sqrt(x^2 + 1) $ e che voglio studiarne il comportamento a $ +oo $.

1) Se trovo a cosa è asintotica ho automaticamente trovato l'asintoto? Qui per esempio ho che $ f(x) ~ 2x $, posso dire che l'asintoto per $ x -> +oo $ è dato da $ y = 2x $? Il valore q della retta, se c'è, esce direttamente studiando il comportamento asintotico o va calcolato esplicitamente?

2) Altro dubbio: per vedere se la funzione sta sopra o sotto l'asintoto mi basta controllare se il limite di f(x) fratto l'asintotico mi da $1^+$ o $ 1^- $? Nel caso precedente (sempre per $ x -> +oo $) ho che $ \frac{f(x)}{2x} = 1^+ = 1 + o(1)$. Avendo quell'o piccolo di 1 posso dire che la funzione sta sopra la retta?

[Alegomind]

Ciao, per quanto riguarda lo studio degli asintoti obliqui bisogna fare attenzione al fatto che la variabile indipendente x, non tende solo a crescere a più inifnito ma tende anche a descrescere a meno infinito. Per tanto bisognerebbe distinguere i due case, quello in cui \[x \to +\infty \] e quello in cui \[ x \to -\infty \] e non è sempre detto che i due asintoti obliqui ottenuti coincidano! Torniamo a ciò che hai chiesto, il ragionamento che hai seguito è semi-corretto, ti ha portato ai giusti risultati. Tuttavia non è il tipo di ragionamento che viene generalmente richiesto per il calcolo di asintoti obliqui per funzioni di una variabile. Il trovare una stima asintotica come hai fatto può esserti sopratutto di aiuto per verificare che il procedimento standard sia stato fatto bene, ricordiamo che se y=mx+q rappresenta l'asintoto obliquo, determiniamo m e q:

\[\lim_{x \to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}=m\,\,\,\,\,\,\,\lim_{x \to \pm \infty }f(x)-x=q \]