Comportamento asintotico del logaritmo
Se ho quest'espressione $$f_a (x)=\frac{1}{\sqrt[3]{log(1+x^{2a})}}$$
devo vedere il suo comportamento asintotico per $x \to 0^+$.
Se $a=0$ è banale, se $a>0$ ho che \(\displaystyle f_a (x) \sim \frac{1}{x^{2a/3}} \) .
Se invece $a<0$ come trovo l'asintotico di \(\displaystyle f_a (x)=\frac{1}{\sqrt[3]{log(1+\frac{1}{x^{2|a|}})}} \) ?
devo vedere il suo comportamento asintotico per $x \to 0^+$.
Se $a=0$ è banale, se $a>0$ ho che \(\displaystyle f_a (x) \sim \frac{1}{x^{2a/3}} \) .
Se invece $a<0$ come trovo l'asintotico di \(\displaystyle f_a (x)=\frac{1}{\sqrt[3]{log(1+\frac{1}{x^{2|a|}})}} \) ?
Risposte
Chiedo questo più che altro perchè nel mio libro viene data quest'espressione se $a<0$ ovvero $$f_a(x) \sim \frac{1}{(2a)^{1/3} x^a \log^{1/3} (x)}$$
(e non capisco come ci arrivi)
(e non capisco come ci arrivi)
Ciao Berker,
Non mi torna quell'$x^a $ a denominatore...
Se $ a < 0 $ il secondo addendo dell'argomento del logaritmo tende a $+\infty $ per $x \to 0^+ $, per cui il contributo del primo addendo (cioè $1$) è trascurabile rispetto a quello del secondo e si ha:
$ f_a (x) = frac{1}{root[3]{log(1+x^{2a})}} $ [tex]\sim[/tex] $ frac{1}{root[3]{log(x^{2a})}} = frac{1}{root[3]{2a log(x)}} = frac{1}{(2a)^{1/3} log^{1/3}(x)} $
Non mi torna quell'$x^a $ a denominatore...
Se $ a < 0 $ il secondo addendo dell'argomento del logaritmo tende a $+\infty $ per $x \to 0^+ $, per cui il contributo del primo addendo (cioè $1$) è trascurabile rispetto a quello del secondo e si ha:
$ f_a (x) = frac{1}{root[3]{log(1+x^{2a})}} $ [tex]\sim[/tex] $ frac{1}{root[3]{log(x^{2a})}} = frac{1}{root[3]{2a log(x)}} = frac{1}{(2a)^{1/3} log^{1/3}(x)} $
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