Comportamento all'origine di una equazione differenziale
Non sono riuscito a scrivere la domanda con l'editor del forum perché mi creava continuamente problemi quindi: link
Non capisco che cosa stia facendo quando sostituisce $c\rho^{s}$ nell'equazione degli autovalori $H\varphi=E\varphi$.
Non capisco che cosa stia facendo quando sostituisce $c\rho^{s}$ nell'equazione degli autovalori $H\varphi=E\varphi$.
Risposte
La tua equazione radiale:
non mi sembra corretta. Piuttosto:
non mi sembra corretta. Piuttosto:
Si, giusto.
La condizione \(\varphi\in L^2(\mathbb{R}^3)\) si traduce, per la parte radiale, in
\[ \int_0^{+\infty} \rho^2 |R(\rho)|^2 d\rho < +\infty.\]
Inoltre, per il potenziale Coulombiano, sappiamo che \(R\in C^2((0, +\infty))\) è soluzione dell'equazione differenziale già riportata e che esiste finito \(\lim_{\rho\to 0} R(\rho)\) (questo discende dal fatto che le soluzioni dell'equazione di Schroedinger ammetto limite finito nei punti singolari isolati del potenziale).
Detto questo, non ho capito cosa fai dopo.
In genere si distinguono i casi \(E\leq 0\) ed \(E> 0\).
Nel primo caso (che è quello d'interesse per la caratterizzazione delle spettro discreto dell'operatore) ci si riconduce ad una equazione con una singolarità fuchsiana nell'origine; tenendo conto delle considerazioni iniziali questa, a sua volta, si può ricondurre ad una equazione ipergeometrica confluente per una funzione ausiliaria.
\[ \int_0^{+\infty} \rho^2 |R(\rho)|^2 d\rho < +\infty.\]
Inoltre, per il potenziale Coulombiano, sappiamo che \(R\in C^2((0, +\infty))\) è soluzione dell'equazione differenziale già riportata e che esiste finito \(\lim_{\rho\to 0} R(\rho)\) (questo discende dal fatto che le soluzioni dell'equazione di Schroedinger ammetto limite finito nei punti singolari isolati del potenziale).
Detto questo, non ho capito cosa fai dopo.
In genere si distinguono i casi \(E\leq 0\) ed \(E> 0\).
Nel primo caso (che è quello d'interesse per la caratterizzazione delle spettro discreto dell'operatore) ci si riconduce ad una equazione con una singolarità fuchsiana nell'origine; tenendo conto delle considerazioni iniziali questa, a sua volta, si può ricondurre ad una equazione ipergeometrica confluente per una funzione ausiliaria.
Ah ok. La seconda parte per me è strana ma non credo la debba sapere 
Grazie.
Grazie.
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