Comportamento all'$\infty$ di funzioni $L^1$

[Gaal Dornick]

Oggi mi ci sono trovato a pensare. Ho una mia dimostrazione, vediamo un po' che ne dite voi.

Esercizio 1. Sia $f\in L^1(RR)$, $f$ continua.
Si provi che
$"lim inf"_{x\to +\infty} |f(x)|=0$.

Esercizio 2. Sia $f\in L^1(RR)$. Vale la seguente equivalenza:
$f$ è uniformemente continua $<=>$ $f$ è continua ed è infinitesima all'$oo$.


Buon divertimento!

[dissonance]

[list=1][*:11xpycnl]Siccome \(\lvert f(x)\rvert \ge 0\), anche \(\operatorname{liminf}_{x \to +\infty} \lvert f(x)\rvert\ge 0\). La disuguaglianza non può essere stretta perché per il teorema della media integrale esiste una successione \(\xi_n\to +\infty\) tale che

\[\int_n^{n+1} \lvert f(y)\rvert\, dy= \lvert f(\xi_n)\rvert\]

e il membro sinistro della formula precedente tende a \(0\) per convergenza dominata. [/*:m:11xpycnl]
[*:11xpycnl]\(\Rightarrow\) \(f\) ammette limite all'infinito e per il punto 1 esso non può che essere 0.
*** EDIT *** Questa è una cavolata. Vedi post di Rigel seguente.

\(\Leftarrow\) Per questo non occorre neanche che \(f\) sia sommabile. Fissato \(\varepsilon\) esiste un intorno \(I\) di \(\pm \infty\) tale che

\[\lvert f(x)\rvert \le \varepsilon,\quad \forall x \in I;\]

ed essendo \(\mathbb{R}\setminus I\) compatto esiste \(\delta\) tale che \(\forall x, y \in \mathbb{R}\setminus I,\ \lvert x-y\rvert < \delta\), risulti \(\lvert f(x)-f(y)\rvert < \varepsilon.\) Allora

\[\forall x, y \in \mathbb{R},\ \lvert x - y \rvert <\delta,\ \lvert f(x)-f(y)\rvert \le 3\varepsilon.\][/*:m:11xpycnl][/list:o:11xpycnl]

[gugo82]

Per 1. si può anche ragionare come segue.
Supponiamo che \(\operatorname{minlim}_{x\to \infty} |f(x)|>0\); in tal caso esistono \(\varepsilon >0\) ed un intorno \([R,\infty[\) tali che \(|f(x)|\geq \varepsilon\) per \(x\in [R,\infty[\). Ciò però è asssurdo perché implica \(+\infty =\int_R^\infty \varepsilon\ \text{d} x \leq \int_R^\infty |f(x)|\ \text{d} x<+\infty\).
Analogo ragionamento in \(-\infty\).

Tra l'altro, non serve nemmeno l'ipotesi di continuità.

[Gaal Dornick]

1.
Puoi essere più dettagliato? In realtà la mia dimostrazione è esattamente la tua, ma non sono sicuro di leggere quel che vuoi dire tu invece di quel che voglio vederci io.

2.
Puoi commentarmi la $=>$?
Ok, la $\Leftarrow$ era ovvia (cioè, interessante al primo anno), in realtà basta che all'infinito si comportava come una qualunque funzione uniformemente continua, ad esempio (nel nostro caso) una costante. Potrebbe essere un rialzo, però non mi interessa granchè.

[Gaal Dornick]

@Gugo. Molto bene. Era anche facile. Però non m'era venuto in mente.

[dissonance]

Quella successione \(f(\xi_n)\) mostra che \(0\) è un valore di aderenza, e il minimo limite si può caratterizzare come il minimo di tali valori.

[Gaal Dornick]

Questo m'era chiaro. Non capivo da cosa tiravi fuori la successione.

[dissonance]

Aaah ho capito, c'era un errore in effetti. Avevo scritto

\[\int_n^{+\infty}\lvert f(x)\rvert \, dx = f(\xi_n)\]

invece della formula corretta

\[\int_n^{n+1}\lvert f(x)\rvert\, dx=f(\xi_n).\]

E si, sennò che media vuoi fare su \([n,+\infty)\). Scusa.

[Gaal Dornick]

Bene. In conclusione si ha che: se la funzione è $L^1$, allora si trova una successione di punti all'infinito su cui la funzione è infinitesima. Si può fare di meglio con ipotesi aggiuntive? Per esempio, abbiamo visto che se la funzione è continua questi punti distano tra loro al massimo $2$ (insomma, c'è n'è uno in ogni $(n,n+1)$). Aggiustando la dimostrazione, si fa vedere che, se li cerchi in $[sum_i^n 1/i, sum_i^{n+1} 1/i]$ allora hai una successione tale che $f(n)/n$ è infinitesima.
Insomma, se stringi l'intervallino in cui cercare questi "zeri", ti va peggio. Non si può fare di meglio?
(Analogamente, se si allarga l'intervallo, si migliora la convergenza)

In realtà non so se questa cosa possa servire, ma mi sembra molto facilmente abbordabile, e immagino che quindi sia una cosa ovvia che tutti sanno, ma io no.

@Dissonance. Rimane comunque sospesa la questione $\Rightarrow$. Non puoi rispondermi ad un esercizio dicendo "c'è un teorema che lo garantisce"!

[dissonance]

"Gaal Dornick":[...]se stringi l'intervallino in cui cercare questi "zeri", ti va peggio. Non si può fare di meglio?
(Analogamente, se si allarga l'intervallo, si migliora la convergenza)
[...]

Questa cosa mi ricorda lontanamente quelle tecniche di calcolo numerico tipo "accelerazione di Aitken", in cui data una successione convergente si costruisce una estratta che converge più rapidamente. Per grandi linee anche qui succede qualcosa del genere: se allarghi l'intervallo hai più scelta tra i valori della \(\lvert f \rvert\) e quindi te li puoi scegliere in modo che decadano più rapidamente. Ma questo mi sembra più un principio di carattere generale che un fenomeno collegato alla sommabilità di \(f\). L'unica ipotesi richiesta è che \(0\) sia tra i punti limite.

@Dissonance. Rimane comunque sospesa la questione $\Rightarrow$. Non puoi rispondermi ad un esercizio dicendo "c'è un teorema che lo garantisce"!

La prossima volta scriverò "è ben noto che...", oppure, meglio ancora: "è un utile esercizio per il lettore mostrare che..." .

A parte gli scherzi, la cruda verità è che sul momento la dimostrazione non mi sovviene, anche se è un teorema generale ben noto ( non ce l'ho fatta a resistere), che quanto meno enuncio:

Teorema: [edit]*** Clamorosamente falso!!! \(f(x)=\sin(x)\) è un controesempio. Vedi seguito[/edit]

Sia \(f\colon [0, +\infty)\to \mathbb{R}\) una funzione uniformemente continua. Allora esiste (finito o infinito)

\[\lim_{x \to +\infty} f(x).\]

Appena ho un po' di tempo vedo di ricostruire una dimostrazione.

[gio73]

"Gaal Dornick": La prossima volta scriverò "è ben noto che...", oppure, meglio ancora: "è un utile esercizio per il lettore mostrare che..." .

Che ne dici di: "si lascia la dimostrazione allo studente volenteroso"

[Gaal Dornick]

Domanda: il seno è uniformemente continuo?

[Rigel1]

"dissonance":
A parte gli scherzi, la cruda verità è che sul momento la dimostrazione non mi sovviene, anche se è un teorema generale ben noto ( non ce l'ho fatta a resistere), che quanto meno enuncio:

Teorema:

Sia \(f\colon [0, +\infty)\to \mathbb{R}\) una funzione uniformemente continua. Allora esiste (finito o infinito)

\[\lim_{x \to +\infty} f(x).\]

Appena ho un po' di tempo vedo di ricostruire una dimostrazione.

Ahi ahi
Qualsiasi funzione lipschitziana su \(\mathbb{R}\) è uniformemente continua, ma ne trovi quante ne vuoi che non ammettono limite all'infinito.
Probabilmente ti confondi col teorema che dice che una funzione continua che ammette limite (finito) all'infinito è uniformemente continua.

[Gaal Dornick]

(beh, in realtà basta una qualunque funzione continua periodica non banale)

[dissonance]

"Rigel":
Ahi ahi
Qualsiasi funzione lipschitziana su \(\mathbb{R}\) è uniformemente continua, ma ne trovi quante ne vuoi che non ammettono limite all'infinito.
Probabilmente ti confondi col teorema che dice che una funzione continua che ammette limite (finito) all'infinito è uniformemente continua.

uups

Mi confondevo col caso degli aperti limitati di \(\mathbb{R}^n\)...

Ok, allora sentite questa. Sia \(f\in L^1(\mathbb{R})\) e uniformemente continua. Per assurdo \(f\) non sia infinitesima per \(x \to +\infty\), ovvero esista una successione \(x_n \to +\infty\) tale che \(f(x_n)\to l\ne 0\). Assumiamo senza perdere generalità che sia \(l>0\) (eventualmente \(+\infty\)). Sia \(N\in \mathbb{N}\) tale che \(\forall n \ge N\) risulti \(f(x_n)\ge l/2\) (\(\ge 2\) se \(l=+\infty\)). In corrispondenza di \(\varepsilon=l/4\) (\(\varepsilon=1\) se \(l=+\infty\)) esiste \(\delta > 0\) tale che per ogni \(x \in [x_n-\delta, x_n+\delta]\) risulti \(\lvert f(x)-f(x_n)\rvert \le \varepsilon\) e in particolare \(f(x) \ge f(x_n) - \varepsilon \ge \varepsilon\). Detto

\[S=\bigcup_{n=N}^\infty[x_n-\delta, x_n+\delta], \]

risulta che \(\lvert S\rvert=+\infty\) e

\[\int \lvert f(x)\rvert\, dx \ge \int_S\lvert f(x)\rvert\, dx \ge \frac{l}{4}\lvert S\rvert=+\infty,\]

contraddicendo l'ipotesi \(f \in L^1(\mathbb{R})\).


_________
[size=90]( osservazione personale @Gaal: ti chiedo scusa, è dall'inizio di questo thread che rispondo con scarsa attenzione. Sono un po' preso dagli impegni di università, ma nonostante questo ho voluto rispondere lo stesso. )[/size]