Comportamento all'infnito
Salve a tutti. E' la prima volta che vi scrivo ma ho necessità di una mano per un esercizio. Questo me lo ha dato il mio professore di analisi II come addizionale rispetto agli altri esercizi fatti in classe, quindi non riesco a dirvi esattamente la fonte. Io sono iscritto al secondo anno del corso di laurea in fisica.
L'esercizio che vi propogno recita così: si richiede il comportamento all'infinito della seguente scrittura
\[ f(n)=\int_n^\infty e^{-nx^4} dx \]
Vi informo che non ho la soluzione a disposizione e speravo mi illuminaste voi. Grazie mille a tutti
Gabriele
L'esercizio che vi propogno recita così: si richiede il comportamento all'infinito della seguente scrittura
\[ f(n)=\int_n^\infty e^{-nx^4} dx \]
Vi informo che non ho la soluzione a disposizione e speravo mi illuminaste voi. Grazie mille a tutti
Gabriele
Risposte
Se l'hai studiato, potresti applicare il teorema di convergenza dominata.
Altrimenti, puoi provare a fare qualche cambiamento di variabile, ad esempio \(u=\sqrt[4]{n}\ x\), e vedere cosa ne viene fuori.
Altrimenti, puoi provare a fare qualche cambiamento di variabile, ad esempio \(u=\sqrt[4]{n}\ x\), e vedere cosa ne viene fuori.
poniamo $u=x/n$ quindi $du=dx/n$
$int_n^inftye^(-nx^4)dx$=$int_1^(infty)n.e^(-n^5u^4)du$
per ogni $u>=1$ abbiamo $|n.e^(-n^5u^4)|=n.e^(-n^5u^4)<=n/(1+n^5u^4)<=1/u^4$
ovviamente la funzione $u->1/u^4$ è integrabile su $[1,+infty)$
col teorema della convergenza dominata si conclude che $lim_(n->infty)int_1^(infty)n.e^(-n^5u^4)du$=$int_1^(infty)lim_(n->infty)n.e^(-n^5u^4)du=0$
$int_n^inftye^(-nx^4)dx$=$int_1^(infty)n.e^(-n^5u^4)du$
per ogni $u>=1$ abbiamo $|n.e^(-n^5u^4)|=n.e^(-n^5u^4)<=n/(1+n^5u^4)<=1/u^4$
ovviamente la funzione $u->1/u^4$ è integrabile su $[1,+infty)$
col teorema della convergenza dominata si conclude che $lim_(n->infty)int_1^(infty)n.e^(-n^5u^4)du$=$int_1^(infty)lim_(n->infty)n.e^(-n^5u^4)du=0$
grazie mille ragazzi. Non ho capito solo perchè hai variato l'estremo inferiore dell'integrale in 1 anzichè n. per il resto l'idea di optare per un cambiamento di variabile era venuta anche a me, ma non avevo individuato il cambiamento giusto. Grazi mille ancora
se x=n quindi u=1 una semplice sostituzione si?
grazie mille. grazie ancora ciao a presto
Gabriele
Gabriele
Più semplicemente...
Notiamo innanzitutto che per ogni \(n\) è:
\[
\tag{1} \forall x\in \mathbb{R},\quad \exp (-nx^4)\geq \exp (-(n+1)x^4)\; .
\]
Abbiamo:
\[
\begin{split}
f(n) &= \int_n^{n+1} \exp (-nx^4)\ \text{d} x +\int_{n+1}^\infty \exp (-nx^4)\ \text{d} x &\text{(proprietà additiva dell'integrale)}\\
&\geq \int_{n+1}^\infty \exp (-nx^4)\ \text{d} x &\text{(positività dell'integrando)}\\
&\geq \int_{n+1}^\infty \exp (-(n+1)x^4)\ \text{d} x &\text{(per la (1))}\\
&=f(n+1)
\end{split}
\]
quindi la successione di termine generale \(f(n)\) è decrescente e perciò dotata di limite \(\ell\).
Per noti fatti, \(\ell\) è pure il limite di tutte le successioni che è posibile estrarre da \(f(n)\), quindi per calcolarlo basterà scegliere opportunamente un'estratta \(f(n_h)\): a tal uopo prendiamo \(n_h=h^4\) (con \(h\in \mathbb{N}\)) e facciamo in \(f(h^4)\) il cambiamento di variabili \(u=hx\), trovando:
\[
f(h^4) \stackrel{u=hx}{=} \frac{1}{h}\ \int_1^\infty \exp(-u^4)\ \text{d} u\; ;
\]
ma la funzione \(\exp(-u^4)\) è somabile in \([1,\infty[\), ergo l'integrale che figura a secondo membro della precedente è una costante (che non dipende da \(h\)); pertanto si ha:
\[
\ell =\lim_h f(h^4) = \lim_h \frac{1}{h}\ \int_1^\infty \exp(-u^4)\ \text{d} u =0 \; .
\]
Notiamo innanzitutto che per ogni \(n\) è:
\[
\tag{1} \forall x\in \mathbb{R},\quad \exp (-nx^4)\geq \exp (-(n+1)x^4)\; .
\]
Abbiamo:
\[
\begin{split}
f(n) &= \int_n^{n+1} \exp (-nx^4)\ \text{d} x +\int_{n+1}^\infty \exp (-nx^4)\ \text{d} x &\text{(proprietà additiva dell'integrale)}\\
&\geq \int_{n+1}^\infty \exp (-nx^4)\ \text{d} x &\text{(positività dell'integrando)}\\
&\geq \int_{n+1}^\infty \exp (-(n+1)x^4)\ \text{d} x &\text{(per la (1))}\\
&=f(n+1)
\end{split}
\]
quindi la successione di termine generale \(f(n)\) è decrescente e perciò dotata di limite \(\ell\).
Per noti fatti, \(\ell\) è pure il limite di tutte le successioni che è posibile estrarre da \(f(n)\), quindi per calcolarlo basterà scegliere opportunamente un'estratta \(f(n_h)\): a tal uopo prendiamo \(n_h=h^4\) (con \(h\in \mathbb{N}\)) e facciamo in \(f(h^4)\) il cambiamento di variabili \(u=hx\), trovando:
\[
f(h^4) \stackrel{u=hx}{=} \frac{1}{h}\ \int_1^\infty \exp(-u^4)\ \text{d} u\; ;
\]
ma la funzione \(\exp(-u^4)\) è somabile in \([1,\infty[\), ergo l'integrale che figura a secondo membro della precedente è una costante (che non dipende da \(h\)); pertanto si ha:
\[
\ell =\lim_h f(h^4) = \lim_h \frac{1}{h}\ \int_1^\infty \exp(-u^4)\ \text{d} u =0 \; .
\]
Oppure
Per $x>=1\ \ \ "e"\ \ \ n>=1$ si ha che $e^{-nx^4}<=e^{-x}$
dunque $0<=f(n)<=e^{-n}$ e per confronto si ha che $f(n) to 0$.
Per $x>=1\ \ \ "e"\ \ \ n>=1$ si ha che $e^{-nx^4}<=e^{-x}$
dunque $0<=f(n)<=e^{-n}$ e per confronto si ha che $f(n) to 0$.
Sia $y = nx^4$. Allora $dx = \frac{1}{4}n^{-1/4}y^{-3/4}dy$. Si ha che
$f(n)=\frac{1}{4n^{1/4}}\int_{n^5}^{\infty} \frac{e^{-y}}{y^{3/4}}dy=\frac{1}{4n^{1/4}}Gamma(1/4,n^5)$
dove $\Gamma(s,z)$ e' la funzione gamma incompleta. Si veda
http://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function
e le formule li.
Se $n\rightarrow\infty$, si ha che
$f(n) = \frac{e^{-n^5}}{4n^4}(1-\frac{3}{4}n^{-5}+\ldots).$
$f(n)=\frac{1}{4n^{1/4}}\int_{n^5}^{\infty} \frac{e^{-y}}{y^{3/4}}dy=\frac{1}{4n^{1/4}}Gamma(1/4,n^5)$
dove $\Gamma(s,z)$ e' la funzione gamma incompleta. Si veda
http://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function
e le formule li.
Se $n\rightarrow\infty$, si ha che
$f(n) = \frac{e^{-n^5}}{4n^4}(1-\frac{3}{4}n^{-5}+\ldots).$
ragazzi... ho scoperto che l'esercizio chiedeva una cosa diversa!!!!!! infatti il mio prof non vuole sapere il risultato, ma vuole sapere come ci arriva a zero!!!! In pratica una funzione per cui il rapporto tra quella e l'integrale all'infinito dia uno!!!!!!!!!!!! non so se sono stato chiaro...
Beh, allora bisogna usare la stima asintotica della funzione gamma incompleta come ha fatto Stickelberger.
[
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