Componenti connesse

[gbspeedy]

al variare di K descrivere l'insieme $D_k={(x,y) in R^2 : x^2+ky^2-4+k^2!=0}$ precisando quante sono le componenti connesse.

Non ho ben chiaro cosa devo fare.

[@melia]

Devi, per prima cosa, studiare l'equazione parametrica $x^2+ky^2-4+k^2=0$, di cui poi l'insieme che ti interessa è il complementare in $RR^2$.
La curva è una conica, che può degenerare in due rette, un punto o non essere reale. Non so se e come tu abbia studiato le coniche, ad occhio i punti cruciali sono $k= -2$, $k=0$ e $k=2$ (sono i valori che annullano il coefficiente della y o il termine noto). Dovrai vedere, quindi, che cosa succede per $k< -2$, $k= -2$, $-22$.

[gbspeedy]

se $K=0$ o $K=-2$ ho una coppia di rette reali mentre per $k=2$ due rette complesse coniugate
se $k<-2$ e $-2 se $02$ ho un'ellissi

quindi quante sono le componenti connesse?

[@melia]

Devi restare sui reali, quindi per $k=2$ hai un punto $(0, 0)$, per $k>2$ non ottieni niente.
Adesso devi lavorare sul complementare, quindi
per $k< -2 vv -2 per $k= -2$ ottieni due rette passanti per l'origine, togli al piano cartesiano le due rette e ottieni 4 componenti connesse distinte.
per $k=0$ le due rette che ottieni sono parallele, togli al piano cartesiano le due rette hai 3 componenti connesse: 2 semipiani e una striscia;
per $0 per $k=2$, dal piano devi togliere un unico punto, quindi la figura è un'unica componente connessa: il piano a cui manca un punto;
per $k>2$ l'equazione è impossibile in $RR$, quindi ti rimane tutto il piano che sarà un'unica componente connessa.