Componente connessa illimitata
Dato un cammino chiuso $\Gamma$ avente ${\Gamma}$ come sostegno in $CC$. Quale sarebbe la componente connessa illimitata di $CC\\{\Gamma}$?
Risposte
Disegna una circonferenza nel piano. Essa divide il piano in due parti (=in due componenti connesse). Quale delle due è non limitata?
Ciao.
Non credo di aver capito bene che cosa stai chiedendo (cioè non so se vuoi un discorso "formale" o solo un'idea della questione). Comunque la componente connessa illimitata è data dalla regione di piano esterna alla curva (la curva è chiusa): ti torna?
Comunque tieni presente che questo è un teorema (non banale): qui per ulteriori dettagli.
Non credo di aver capito bene che cosa stai chiedendo (cioè non so se vuoi un discorso "formale" o solo un'idea della questione). Comunque la componente connessa illimitata è data dalla regione di piano esterna alla curva (la curva è chiusa): ti torna?
Comunque tieni presente che questo è un teorema (non banale): qui per ulteriori dettagli.
Credevo di aver capito che le cose stanno come mi avete spiegato. Solo che la dimostrazione che sto studiando prosegue in questo modo:
Chiamiamo $C_oo$ la componente connessa illimitata di $\CC\\{\Gamma}$ Poiché ${\Gamma}$ è compatto e quindi limitato esiste $R \in RR_+$ tale che $C_oo sub CC\\\bar{B}(0;R)$. Non capisco allora l'ultima inclusione.
Chiamiamo $C_oo$ la componente connessa illimitata di $\CC\\{\Gamma}$ Poiché ${\Gamma}$ è compatto e quindi limitato esiste $R \in RR_+$ tale che $C_oo sub CC\\\bar{B}(0;R)$. Non capisco allora l'ultima inclusione.
Mi sa che c'è qualcosa che non va infatti. Sei sicuro del testo? Da dove è tratto, dal libro di Conway forse? Magari se ci dici la pagina possiamo dare un'occhiata.
Mmm, se non ho capito male, l'autore della dimostrazione dice: poichè $Gamma$ è compatto (pensa a un $S^1$ come diceva sopra dissonance), allora è necessariamente limitato, i.e. sta dentro una palla di raggio $R$.
Dentro tale palla ci sta sia $Gamma$ sia l'insieme dei punti che "stanno dentro" a $Gamma$ (non uso il termine interni per non generare ambiguità topologiche).
Ne segue che la componente connessa illimitata sta nel complementare di tale palla.
Più chiaro?
EDIT: dissonance, mi ero perso il tuo post ed evidentemente mi sono perso qualcosa della faccenda: perchè secondo voi c'è qualcosa che non va?
Dentro tale palla ci sta sia $Gamma$ sia l'insieme dei punti che "stanno dentro" a $Gamma$ (non uso il termine interni per non generare ambiguità topologiche).
Ne segue che la componente connessa illimitata sta nel complementare di tale palla.
Più chiaro?
EDIT: dissonance, mi ero perso il tuo post ed evidentemente mi sono perso qualcosa della faccenda: perchè secondo voi c'è qualcosa che non va?
E no, Paolo. Se il disco contiene la curva allora la componente connessa illimitata contiene il complementare del disco. Il testo invece dice il contrario.
Ah, sisi, vero, mi ero imbrogliato pensando a una circonferenza, per cui sussisteva uguaglianza. Vero, scusate per la svista e grazie per il chiarimento.
Se la componente connessa illimitata di $CC\\\{Gamma}$ è il complementare della parte interna delimitata dal cammino come fa a sua volta ad essere inclusa nel complementare indicato?
[EDIT] confermo che il testo dice proprio come ho riportato. Di tratta delle dispense del Prof:
http://www.dm.unito.it/quadernididattici/buzano.pdf
a pag. 17-18
[EDIT] confermo che il testo dice proprio come ho riportato. Di tratta delle dispense del Prof:
http://www.dm.unito.it/quadernididattici/buzano.pdf
a pag. 17-18
Sono andato a consultare il Conway (Th. 4.4 pag. 82) dove in effetti dice che l'inclusione è quella nell'altro verso ovvero esiste $R>0$ tale che $B(0;R) sub C_oo$. Così tutto torna dev'essere stato un refuso delle dispense. Grazie a tutti
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