Completezza $X_0(\mathbb{R})$
Allora, consideriamo lo spazio vettoriale
$X_0(\mathbb{R}):={f\inC^0(\mathbb{R}) t.c \lim_{|t|\to\infty}f(t)=0}$
Mi si chiede di dire se tale spazio è completo rispetto alla norma del sup.
Non avendo trovato controesempi, ho provato a dimostrare la completezza.
Ho preso una successione ${f_n}$ di Cauchy e ho dimostrato che essa converge puntualmente ad una funzione continua. Tuttavia non riesco a dimostrare che la funzione limite debba annullarsi all'infinito.
Qualcuno mi aiuta o mi trova controesempi? Grazie!
$X_0(\mathbb{R}):={f\inC^0(\mathbb{R}) t.c \lim_{|t|\to\infty}f(t)=0}$
Mi si chiede di dire se tale spazio è completo rispetto alla norma del sup.
Non avendo trovato controesempi, ho provato a dimostrare la completezza.
Ho preso una successione ${f_n}$ di Cauchy e ho dimostrato che essa converge puntualmente ad una funzione continua. Tuttavia non riesco a dimostrare che la funzione limite debba annullarsi all'infinito.
Qualcuno mi aiuta o mi trova controesempi? Grazie!
Risposte
Prova qualcosa come
\[
\begin{split}
&\mbox{sup}|f(x)|\leq \mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|+\mbox{sup}|f_{n}(x)| \\
&\mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|\rightarrow 0 \mbox{ per } n \rightarrow \infty \\
&\mbox{sup}|f_{n}(x)|\rightarrow 0 \mbox{ per } |x| \rightarrow \infty \\
\end{split}
\]
e quindi si passa al limite ambo i membri della prima.
\[
\begin{split}
&\mbox{sup}|f(x)|\leq \mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|+\mbox{sup}|f_{n}(x)| \\
&\mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|\rightarrow 0 \mbox{ per } n \rightarrow \infty \\
&\mbox{sup}|f_{n}(x)|\rightarrow 0 \mbox{ per } |x| \rightarrow \infty \\
\end{split}
\]
e quindi si passa al limite ambo i membri della prima.
il problema è che, fissato $n$, $|f_n(x)|<\epsilon$ se $|x|$ è sufficiente grande e, fissato $x$, $|f(x)-f_n(x)|<\epsilon$ se $n$ è sufficientemente grande, però non trovo il modo di accorpare queste due cose e mostrare che $|f(x)|$ può essere reso piccolo a piacere (come metto a posto la dipendenza reciproca di $n$ e $x$??).
Non so, ho già incontrato questa tecnica ma non mi sono soffermato molto, ho pensato che si passasse direttamente al limite per \(n\) da entrambe le parti perché rimanesse solamente il limite per \(|x|\). E se sommi a membro a membro ed enunci la definizione di limite sia per la successione che per l'altra funzione?
\begin{split}
&\mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|<\epsilon_{1} \\
&\mbox{sup}|f_{n}(x)|<\epsilon_{2} \\
&\mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|+\mbox{sup}|f_{n}(x)|<\epsilon_{1}+\epsilon_{2}=\epsilon \\
&\mbox{sup}|f(x)|<\epsilon
\end{split}
\begin{split}
&\mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|<\epsilon_{1} \\
&\mbox{sup}|f_{n}(x)|<\epsilon_{2} \\
&\mbox{sup}|f(x)-f_{n}(x)|+\mbox{sup}|f_{n}(x)|<\epsilon_{1}+\epsilon_{2}=\epsilon \\
&\mbox{sup}|f(x)|<\epsilon
\end{split}
Non so quanto possa essere utile, ma credo che basti dimostrare che se prendi una successione di funzioni in $X_0(\mathbb{R})$ convergente in sup-norma ad una funzione $f$, allora anche $f\in X_0(\mathbb{R})$. Cioé basta dimostrare che il tuo spazio è chiuso nello spazio completo delle funzioni continue e limitate su $\mathbb{R}$ per ereditare la completezza. Magari con questa formulazione è più facile (sempre se non ho detto stupidaggini naturalmente).
@5mrkv:
Non so come spiegarmi meglio, ma questo approccio non credo funzioni... Forse si può tirare fuori qualcosa di buono sommando e sottraendo altre cose che non mi vengono in mente, bho!
@Lemniscata:
Però occhio che la norma del sup NON è una norma su $C^0(\mathbb(R))$! In che senso intendi che $C^0(\mathbb(R))$ è completo?
Non so come spiegarmi meglio, ma questo approccio non credo funzioni... Forse si può tirare fuori qualcosa di buono sommando e sottraendo altre cose che non mi vengono in mente, bho!
@Lemniscata:
Però occhio che la norma del sup NON è una norma su $C^0(\mathbb(R))$! In che senso intendi che $C^0(\mathbb(R))$ è completo?
\(X_0\) è uno spazio metrico completo con la norma del \(\sup\); più precisamente, è il completamento (in quella norma) dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto.
L'idea della dimostrazione proposta da 5mrkv è corretta (la dimostrazione in sé un po' meno).
Bisogna dimostrare che, se \((f_n) \subset X_0\) è una successione di Cauchy, allora \((f_n)\) converge uniformemente a una funzione \(f\in X_0\).
Poiché \(X_0\subset C^0_b := C^0\cap L^{\infty}\), la successione \((f_n)\) converge uniformemente ad una funzione \(f\in C^0_b\); basterà dunque dimostrare che \(f\in X_0\). Fissato \(\epsilon > 0\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che \(\sup |f_N(x) - f(x)| < \epsilon\).
D'altra parte, \(f_N\in X_0\), dunque esiste \(K>0\) tale che \(|f_N(x)| < \epsilon\) per ogni \(|x| > K\). Di conseguenza
\[
|f(x)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x)| \leq 2 \epsilon \qquad \forall |x| > K.
\]
Per l'arbitrarietà di \(\epsilon\) segue che \(f\in X_0\).
L'idea della dimostrazione proposta da 5mrkv è corretta (la dimostrazione in sé un po' meno).
Bisogna dimostrare che, se \((f_n) \subset X_0\) è una successione di Cauchy, allora \((f_n)\) converge uniformemente a una funzione \(f\in X_0\).
Poiché \(X_0\subset C^0_b := C^0\cap L^{\infty}\), la successione \((f_n)\) converge uniformemente ad una funzione \(f\in C^0_b\); basterà dunque dimostrare che \(f\in X_0\). Fissato \(\epsilon > 0\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che \(\sup |f_N(x) - f(x)| < \epsilon\).
D'altra parte, \(f_N\in X_0\), dunque esiste \(K>0\) tale che \(|f_N(x)| < \epsilon\) per ogni \(|x| > K\). Di conseguenza
\[
|f(x)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x)| \leq 2 \epsilon \qquad \forall |x| > K.
\]
Per l'arbitrarietà di \(\epsilon\) segue che \(f\in X_0\).
"ale.b":
@Lemniscata:
Però occhio che la norma del sup NON è una norma su $C^0(\mathbb(R))$! In che senso intendi che $C^0(\mathbb(R))$ è completo?
Beh, ma infatti ho specificato "spazio delle funzioni continue e limitate su $\mathbb{R}$", e questo sì che è di Banach nella sup-norma!
Hai ragione Lemniscata! Mi era sfuggito il "limitate"....
E grazie a Rigel e a tutti gli altri!
E grazie a Rigel e a tutti gli altri!
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