Completezza spazi di Holder
Sia $U$ un aperto di $\mathbb{R}^n$
sia $C_b(U)$ l'insieme delle funzioni continua e limitate, la sua norma $||f||_{C_b(U)}=Sup_{x\inU} {|f(x)|}$ con $f\in C_b(U)$
si può dimostrare che $C_b$ con la norma sopra definita è completo
se f è holder continua con esponente $\eta$ si può definire la seminorma $[f]_{C^{0,\eta}}=Sup_{x,y\inU}{[|f(x)-f(y)|]/[|x-y|^\eta]}
$C^{k,\eta}(U)$ è lo spazio di Holder $k,\eta$ a cui appartengono le funzioni $f\inC^k(U)$ tali che $||f||_{C^{k,\eta}(U)}=\sum_{|\alpha|<=k} ||D^\alphaf||_{C_b(U)} + \sum_{|\alpha|=k} [D^\alphaf]_{C^{0,\eta}}
Vorrei dimostrare che $C^{k,\eta}(U)$ è completo
come potrei fare? Non riesco a partire...
Se potessi dire: ( se ${f_n}$ è una successione di cauchy allora anche la successione delle sue derivate parziali è di cauchy)
potrei sfruttare la completezza di $C_b(U)$ e avrei sistemato almeno la prima sommatoria, ma sono sicuro di non poterlo dire con la sola convergenza puntuale...
Per la seconda sommatoria, buio...
sia $C_b(U)$ l'insieme delle funzioni continua e limitate, la sua norma $||f||_{C_b(U)}=Sup_{x\inU} {|f(x)|}$ con $f\in C_b(U)$
si può dimostrare che $C_b$ con la norma sopra definita è completo
se f è holder continua con esponente $\eta$ si può definire la seminorma $[f]_{C^{0,\eta}}=Sup_{x,y\inU}{[|f(x)-f(y)|]/[|x-y|^\eta]}
$C^{k,\eta}(U)$ è lo spazio di Holder $k,\eta$ a cui appartengono le funzioni $f\inC^k(U)$ tali che $||f||_{C^{k,\eta}(U)}=\sum_{|\alpha|<=k} ||D^\alphaf||_{C_b(U)} + \sum_{|\alpha|=k} [D^\alphaf]_{C^{0,\eta}}
Vorrei dimostrare che $C^{k,\eta}(U)$ è completo
come potrei fare? Non riesco a partire...
Se potessi dire: ( se ${f_n}$ è una successione di cauchy allora anche la successione delle sue derivate parziali è di cauchy)
potrei sfruttare la completezza di $C_b(U)$ e avrei sistemato almeno la prima sommatoria, ma sono sicuro di non poterlo dire con la sola convergenza puntuale...
Per la seconda sommatoria, buio...
Risposte
Alcune indicazioni frettolose
Lasciamo per un attimo l'hoelderianita' - ti risulta che lo spazio $C^k(\Omega)$ delle funzioni derivabili $k$ volte in $\Omega$ e con derivate limitate sia completo ?
(avendo preso come norma la somma delle norme del sup di ogni derivata). Per esempio il fatto che $C^1$ sia completo con la norma $||f||_1:=||f||_0+||f'||_0$ ?
Questo fatto segue dalla completezza $C^0$ e dalla proprieta' : $f_n\tof$ $f'_n\to g$ (unif) IMPLICA $g=f'$.
Passando a $C^{k,\eta}$ intanto vedi che una successione di Cauchy in $C^{k,\eta}$ e' in particolare una succ. di Cauchy in $C^k$ e quindi individui il limite in $C^k$
Dopo di che devi dimostrare che la seminorma hoelderiana "passa al limite" ...
EDIT aggiungo qualche dettaglio. Se vuoi mostrare che $C^{0,\eta}$ e' completo fai cosi': se $(f_n)$ e' di Cauchy in $C^{0,\eta}$ allora lo e' in $C^0$ e quindi $f_n\to f$
per una opportuna $f$ in $C^0$. D'altra parte le succ. di Cauchy sono limitate e quindi tutte le $f_n$ sono hoederiane di una medesima costante $K$, cioe'
$|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|^\eta$ da cui $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|^\eta$ ($f\in C^{0,\eta}$). Rimane da dimostrare che la seminorma hoederiana di $f_n-f$ tende a zero cioe' che
$\forall\epsilon>0\exists\bar n$ tale che $|(f_n(x)-f(x))-(f_n(y)-f(y))|l\leq \epsilon|x-y|^\eta$ per $n\geq \bar n$
Per farlo bisogna mettere $f_m$ al posto di $f$ e sfruttare la proprieta' di Cauchy per la seminorma
Ti lascio un po' riflettere su questo ultimo punto
Lasciamo per un attimo l'hoelderianita' - ti risulta che lo spazio $C^k(\Omega)$ delle funzioni derivabili $k$ volte in $\Omega$ e con derivate limitate sia completo ?
(avendo preso come norma la somma delle norme del sup di ogni derivata). Per esempio il fatto che $C^1$ sia completo con la norma $||f||_1:=||f||_0+||f'||_0$ ?
Questo fatto segue dalla completezza $C^0$ e dalla proprieta' : $f_n\tof$ $f'_n\to g$ (unif) IMPLICA $g=f'$.
Passando a $C^{k,\eta}$ intanto vedi che una successione di Cauchy in $C^{k,\eta}$ e' in particolare una succ. di Cauchy in $C^k$ e quindi individui il limite in $C^k$
Dopo di che devi dimostrare che la seminorma hoelderiana "passa al limite" ...
EDIT aggiungo qualche dettaglio. Se vuoi mostrare che $C^{0,\eta}$ e' completo fai cosi': se $(f_n)$ e' di Cauchy in $C^{0,\eta}$ allora lo e' in $C^0$ e quindi $f_n\to f$
per una opportuna $f$ in $C^0$. D'altra parte le succ. di Cauchy sono limitate e quindi tutte le $f_n$ sono hoederiane di una medesima costante $K$, cioe'
$|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|^\eta$ da cui $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|^\eta$ ($f\in C^{0,\eta}$). Rimane da dimostrare che la seminorma hoederiana di $f_n-f$ tende a zero cioe' che
$\forall\epsilon>0\exists\bar n$ tale che $|(f_n(x)-f(x))-(f_n(y)-f(y))|l\leq \epsilon|x-y|^\eta$ per $n\geq \bar n$
Per farlo bisogna mettere $f_m$ al posto di $f$ e sfruttare la proprieta' di Cauchy per la seminorma
Ti lascio un po' riflettere su questo ultimo punto
"ViciousGoblin":
Alcune indicazioni frettolose
Lasciamo per un attimo l'hoelderianita' - ti risulta che lo spazio $C^k(\Omega)$ delle funzioni derivabili $k$ volte in $\Omega$ e con derivate limitate sia completo ?
(avendo preso come norma la somma delle norme del sup di ogni derivata). Per esempio il fatto che $C^1$ sia completo con la norma $||f||_1:=||f||_0+||f'||_0$ ?
Ok, $(C^k,||cdot||_k)$ è completo.Grazie, non sapevo come dimostrare che "esisteva" una funzione in $C^k$ che è il limite della successione, invece è facile, giusto, si può fare come per $C_b$, si sfrutta la completezza di $\mathbb{R}$ per dire che esiste un limite puntuale e poi si vede che dato che le sequenze convergono uniformemente, le funzioni limite sono continue e limitate perchè le funzioni delle successioni lo sono.
"ViciousGoblin":
D'altra parte le succ. di Cauchy sono limitate e quindi tutte le $f_n$ sono hoederiane di una medesima costante $K$, cioe'
$|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|^\eta$ da cui $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|^\eta$ ($f\in C^{0,\eta}$).
Non ho capito come fai a dire che la costante di Holder è unica,
sono d'accordo che $\forall n\in \mathbb{N}\ \ \ |f_n(x)-f_n(y)|<=C_n *|x-y|^\eta$; bisognerebbe essere sicuri che la sequenza dei $C_n$ ammette limite, no?
Se $(f_n)$ e' di Cauchy in $C^{k,\eta}$ allora esiste $C$ tale che $||f_n||_{k,\eta}\leq C$ (le succ. di Cauchy sono limitate).
Dalla definizione della norma $(k,\eta)$ risulta quindi
$|f_n^{(j)}(x)-f_n^{(j)}(y)|\leq C|x-y|^\eta$ per ogni $x,$ e $j=0,...,k$
Dato che $f_n\to f$ in $C^k$ possiamo dire che
$|f^{(j)}(x)-f^{(j)}(y)|\leq C|x-y|^\eta$ per ogni $x,$ e $j=0,...,k$
cioe' $f\in C^{k,\eta}$.
Fissiamo ora $j=0,..,k$. Dato $\epsilon>0$ esiste $\bar n$ tale che per ogni $n,m\geq\bar n$
$|(f_n^{(j)}(x)-f_m^{(j)}(x))-(f_n^{(j)}(y)-f_m^{(j)}(y))|\leq\epsilon|x-y|^\eta$
Facendo tendere $m$ all'infinito e sfruttando il fatto che la conv. unif. implica la conv. puntuale otteniamo
$|(f_n^{(j)}(x)-f^{(j)}(x))-(f_n^{(j)}(y)-f^{(j)}(y))|\leq\epsilon|x-y|^\eta$ per ogni $n\geq\bar n$
in altri termini
$||f_n^{(j)-f^{j}}||_{0,\eta}\to0$ per $n\to\infty$
Dato che questo vale per ogni $j$ otteniamo che $f_n\to f$ in $C^{k,\eta}$
Riguarando la dimostrazione mi pare che il primo punto non serva cioe' che non occorra predimostrare che $f$ e' hoelderiana.
Controlla un po' tu.
Dalla definizione della norma $(k,\eta)$ risulta quindi
$|f_n^{(j)}(x)-f_n^{(j)}(y)|\leq C|x-y|^\eta$ per ogni $x,$ e $j=0,...,k$
Dato che $f_n\to f$ in $C^k$ possiamo dire che
$|f^{(j)}(x)-f^{(j)}(y)|\leq C|x-y|^\eta$ per ogni $x,$ e $j=0,...,k$
cioe' $f\in C^{k,\eta}$.
Fissiamo ora $j=0,..,k$. Dato $\epsilon>0$ esiste $\bar n$ tale che per ogni $n,m\geq\bar n$
$|(f_n^{(j)}(x)-f_m^{(j)}(x))-(f_n^{(j)}(y)-f_m^{(j)}(y))|\leq\epsilon|x-y|^\eta$
Facendo tendere $m$ all'infinito e sfruttando il fatto che la conv. unif. implica la conv. puntuale otteniamo
$|(f_n^{(j)}(x)-f^{(j)}(x))-(f_n^{(j)}(y)-f^{(j)}(y))|\leq\epsilon|x-y|^\eta$ per ogni $n\geq\bar n$
in altri termini
$||f_n^{(j)-f^{j}}||_{0,\eta}\to0$ per $n\to\infty$
Dato che questo vale per ogni $j$ otteniamo che $f_n\to f$ in $C^{k,\eta}$
Riguarando la dimostrazione mi pare che il primo punto non serva cioe' che non occorra predimostrare che $f$ e' hoelderiana.
Controlla un po' tu.
"ViciousGoblin":
Se $(f_n)$ e' di Cauchy in $C^{k,\eta}$ allora esiste $C$ tale che $||f_n||_{k,\eta}\leq C$ (le succ. di Cauchy sono limitate).
Dalla definizione della norma $(k,\eta)$ risulta quindi
$|f_n^{(j)}(x)-f_n^{(j)}(y)|\leq C|x-y|^\eta$ per ogni $x,$ e $j=0,...,k$
Dato che $f_n\to f$ in $C^k$ possiamo dire che
$|f^{(j)}(x)-f^{(j)}(y)|\leq C|x-y|^\eta$ per ogni $x,$ e $j=0,...,k$
cioe' $f\in C^{k,\eta}$.
questo puoi dirlo solo per $j=k$, perchè solo le derivate k-esime di $u$ sono holderiane se $u\inC^{k,\eta}(U)$
comunque il punto non era questo, sei stato molto chiaro, ti ringrazio
"ViciousGoblin":
Riguarando la dimostrazione mi pare che il primo punto non serva cioe' che non occorra predimostrare che f e' hoelderiana.
Controlla un po' tu.
Credo che invece serva dimostrare che $f$ è holderiana, altrimenti non potrei dire che appartiene a $C^{k,\eta}(U)$
[edit 01/10 19:13] qui intendevo dire per correttezza: Credo che invece serva dimostrare che $f^{(k)}$ è holderiana, altrimenti non potrei dire che $f$ appartiene a $C^{k,\eta}(U)$[/edit]
Praticamente i passi principali sono 2:
- Abbiamo dimostrato che $C^k(U)$ è completo con la norma $||cdot||_{C^k(U)}$ e quindi la successione di Cauchy converge a $f\inC^k(U)$
- Si fa vedere che siccome la successione di funzioni ${f_n^{(k)}}$ era composta da funzioni Holderiane ed era di Cauchy anche il suo limite $f^{(k)}$ è Holderiano (a questo punto dato che la successione ${f_n}$ era di Cauchy in norma $||cdot||_{C^{k,\eta}(U)}$ e il suo limite esiste e appartiene a $C^{k,\eta}(U)$, ovviamente si può vedere che la seminorma di Holder tende a zero)
ok dovrei aver capito,
nei prossimi giorni a mente fresca appena ho un pò di tempo ci penso per bene e la faccio nei dettagli in maniera formale.
Grazie!
@Fox Mi pare di concordare su tutto quanto scrivi nell'ultimo messaggio
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