Completezza di uno spazio

[Cygnus X1]

Devo dimostrare che lo spazio $C([0,1], d_infty)$ è completo. Sia ${f_n}$una successione di Cauchy in tale spazio. Allora, $AA \epsilon > 0$ $EE n_\epsilon >=1$ tale che $max_(x in [0,1])|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$ $AA n,m>n_\epsilon$. Per definizione di $max$, questo implica che $AA\epsilon > 0$ $EEn_\epsilon >=1$ tale che $|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$ $AA n,m>n_\epsilon$ $AA x in [0,1]$. Ora, è lecito affermare che quindi la successione ${f_n}$ converge uniformemente ed il suo limite è una funzione continua, $f in C([0,1])$? Allora, per $m \to infty $ nella disuguaglianza precedente abbiamo $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$e quindi $f $è il limite di ${f_n}$ nella metrica di $C([0,1])$. Non mi convince del tutto questa dimostrazione.

[gugo82]

Invece a me convince proprio assai (a parte qualche disuguaglianza da indebolire, ma è un'inezia)...

[Cygnus X1]

Bene, allora l'avevo dimostrata in modo corretto. Per la dimostrazione delle successioni di Cauchy,invece ?

[Cygnus X1]

Come modificheresti la dimostrazione di sopra ?

[gugo82]

Beh, prenderei \(\varepsilon/2\) in \(\| f_n -f_m\|_\infty <\varepsilon /2\), sicché, passando al limite su \(m\), avresti \(\|f_n-f\|_\infty \leq \varepsilon/2 <\varepsilon\)... Ma è un'inezia, come dicevo.