Completezza di Spazio Metrico

[anti-spells]

Fresco fresco di esame, vi propongo questo esercizio che non sono riuscito a fare (o meglio l'ho fatto ma credo di aver scritto cose da far rivoltare Lagrange nella tomba)

Sia $X=[0,2\pi)$ e $d:X x X->[0,+infty) , d(x,y) = |cos(x) - cos(y)| + |sin(x) - sin(y)|$

i) Mostrare che $(X,d)$ è SM (ovvio, non scrivo nulla)
ii) Dire se $(X,d)$ è completo
iii) Dire se $(X,d)$ è (sequenzialmente) compatto

Qualche suggerimento per il ii) ? io ho scritto che non è completo perchè se prendo una successione $a_n = n$ di Cauchy, questa non converge poichè $\lim_{n \to \infty}sin(n)$ e $\lim_{n \to \infty}cos(n)$ sono indefiniti, ma vabbè lasciamo perdere
Tra l'altro non capisco perchè l'immagine di $d$ è $[0,+infty)$ , a me sembra che sia molto più "piccola"

[dissonance]

Il punto i) può essere facile, ma non è ovvio.

Per il punto ii), per prima cosa devi dimostrare che \(a_n=n\) è di Cauchy. Vediamo un po' come fai.

Quanto all'immagine, ovviamente quella roba è contenuta in \([0, 4]\) (e forse anche in un intervallo più piccolo). Ma non fa niente. Nessuno ha detto che \(d\) è surgettiva.

[Studente Anonimo]

"dissonance":[...]

Per il punto ii), per prima cosa devi dimostrare che \(a_n=n\) è di Cauchy. Vediamo un po' come fai.

[...]

Non puoi prendere quella successione, l'insieme \( X \) e' \( [0, 2 \pi ) \).

[vict85]

Considera lo spazio \(\displaystyle Y = \{ \bigl(\cos(x), \sin(x)\bigr)\in \mathbb{R}^2 : x\in X \} \). Lo spazio \(Y\) è l'immagine di \(X\) tramite una funzione infinitamente differenziabile e invertibile. Inoltre, questa mappa è una isometria se si usa su \(Y\) la metrica indotta dalla norma \(\lVert\bullet\rVert_1\) di \(\mathbb{R}^2\). Questo ti suggerisce qualcosa?

[dissonance]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":[quote="dissonance"][...]

Per il punto ii), per prima cosa devi dimostrare che \(a_n=n\) è di Cauchy. Vediamo un po' come fai.

[...]

Non puoi prendere quella successione, l'insieme \( X \) e' \( [0, 2 \pi ) \).[/quote]
Uuh, verissimo. Grazie della segnalazione. Infatti mi puzzava la cosa che (i) fosse "ovvio". Prendendo \(X=[0, \infty)\) viene meno la proprietà \(d(x, y)=0\ \Longrightarrow\ x=y\).

[anti-spells]

Per "ovvio" intendo dire che sono semplici calcoli da fare in cui non c'è da ragionare, comunque si non è "ovvio"
Di solito per mostrare la completezza usiamo le successioni di Cauchy, quindi credo sia la tecnica da usare anche qui. Non mi è chiaro perchè non posso prendere $a_n = n$

[Studente Anonimo]

"anti-spells":[...] Non mi è chiaro perchè non posso prendere $a_n = n$

Perché \( a_n=n \notin X \) mentre \( d \) è definita su \( X \times X \).

[anti-spells]

Quindi devo prendere una successione a valori in $[0,2\pi)$ e mostrare che converge a $2\pi notin X$ e quindi concludere che non è completo?

[Studente Anonimo]

"anti-spells":Quindi devo prendere una successione a valori in $[0,2\pi)$ e mostrare che converge a $2\pi notin X$ e quindi concludere che non è completo?

Ti rimando al commento di vict85 più sopra, che ti sta dicendo questo: considera la mappa \(i : X \to Y \) definita da \( x \mapsto (\cos(x),\sin(x))\); \(i \) è chiaramente invertibile e differenziabile. Considera poi \( (\mathbb{R}^2, \| \cdot - \cdot \|_1 )\): è uno spazio metrico completo; inoltre essendo \( Y\) chiuso, anche \( (Y, \| \cdot - \cdot \|_1 )\) è completo. Banalmente \(i\) è un'isometria tra \( (X,d)\) e \( (Y, \| \cdot - \cdot \|_1 )\). Essendo quest'ultimo completo...

Questo dovrebbe aiutarti anche con la compattezza.

[gugo82]

Che succede se prendi $a_n = 2pi - epsilon_n$ con $epsilon_n -> 0^+$?
Penso sia l'unica situazione problematica da controllare, se non vuoi ragionare come suggerito da vict.