Completezza di $RR^n$

[paolotesla91]

Ciao ragazzi chi sarebbe così gentile da indicarmi un link dove è spiegato bene questo teorema? Grazie in anticipo


P.S. so che un sottospazio metrico è completo se è un sottospazio chiuso. Come faccio però a dimostrare che $RR^n$ è chiuso?

[Studente Anonimo]

Se [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] sono due spazi metrici completi allora anche [tex]X \times Y[/tex] con la topologia prodotto è metrico completo. Come metrica puoi prendere [tex]d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \max \{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2)\}[/tex] (chiaramente induce la topologia prodotto), e ovviamente se [tex](x_i,y_i)_i[/tex] è una successione di Cauchy allora anche [tex](x_i)_i[/tex] e [tex](y_i)_i[/tex] lo sono, quindi detti [tex]x,y[/tex] i loro limiti la successione [tex](x_i,y_i)[/tex] converge a [tex](x,y)[/tex].

[Paolo902]

Secondo me, fai prima a ricostruire da solo la dimostrazione: non è proprio banale, ma non è nemmeno impossibile e potrebbe essere un utile esercizio. Di solito, almeno il caso $n=1$ si fa in analisi 1. E il caso $n$-dimensionale si fa allo stesso identico modo.

Prendi una successione di Cauchy: vuoi far vedere che converge. Per fare questo, comincia a mostrare che una successione di Cauchy è limitata.
A questo punto, viene il pezzo forte - l'idea chiave, se vuoi: applicare Bolzano-Weierstrass.

Per finire, basta poi dimostrare che se una successione di Cauchy ammette un'estratta convergente, allora la successione stessa converge (allo stesso limite dell'estratta).

P.S. Ogni insieme è aperto e chiuso in sé, quindi quello che vuoi fare non ha molto senso. Per di più, il teorema che citi afferma che un sottospazio chiuso di uno spazio completo è completo. Ma tu non sai ancora che $RR^n$ è completo, è proprio quello che devi dimostrare...

P.P.S Scusa, Martino, non avevo visto la tua risposta.

[paolotesla91]

ok grazie Paolo.. allora so che una succsione è di Cauchy se:
$AA\epsilon>0,EE\nuinNN: ||x_k-x_h||<\epsilon, AAh,k>\nu$

Inoltre ho guardato la dimostrazione della proposizione ke afferma: se una successione di cauchy $x_k$ di uno spazio metrico $X$ ammette una estratta convergente ad un elemento $x in X$ allora tutta la succesione converge ad x. Ma come faccio a dimostrare che se $X subeRR^n$ allora $RR^n$ è completo?

P.S. Mi sa che non ho capito bene quali sono le condizioni per cui un insieme si dice completo!

[Paolo902]

Tu devi dimostrare che lo spazio $X=RR^n$ è completo. Che cosa significa che uno spazio metrico è completo?

Significa che tutte le successioni di Cauchy convergono. Prova a guardare sul tuo testo, c'è senza dubbio la definizione.

[paolotesla91]

ah..quindi ala luce di ciò che hai scritto, con la proposizione ceh ho scritto prima in pratica ho dimostrato che siccome $XsubeRR^n$ è sottospazio completo, perchè le succesioni di Cauchy convergono ad $x in X$ allora lo è anche $RR^n$ giusto?

P.S. sul mio testo non c'è alcun riferimento alla prima parte che mi hai indicato, cioè all'utilizzo di Bolzano Weierstrass.
Invece per quanto riguarda la limitatezza basta dire che:

Una successione di Cauchy $x_kinX$ è limitata se: $EE J in NN$ tale che: $|x_k|

[Paolo902]

Abbi pazienza, ma se vai avanti così non si capisce più nulla.

Domanda: ti è (almeno) chiaro quello che devi dimostrare? Perchè, a giudicare dal tuo ultimo post, mi pare tu abbia un po' di confusione in testa riguardo le ipotesi e la tesi di un teorema...

[paolotesla91]

Si! Scusa ma forse non mi sono spiegato bene.

Io devo dimostrare che lo spazio $RR^n$ è completo. Per farlo devo dimostrare che tutte le successioni di Cauchy convergono. Bene, io so che data una successione di Cauchy $x_k in X$, $XsubeRR^n$, allora se questa successione ammette una estratta convergente a $x in X$ allora anche $x_k->x$ (dimostrazione analoga a quella di analisi 1). Bene, ora dimostrato ciò, e avendo supposto $XsubeRR^n$ posso dire che anche $RR^n$ è completo? (In questo caso $RR^n$ è il complementare di $X$).

[Paolo902]

Scusami tu, ma io continuo a non capire chi è questo benedetto $X$. Come ti ho già detto sopra, noi dobbiamo mostrare che $RR^n$ è completo. Quindi prendiamo una successione di Cauchy in $RR^n$ e mostriamo che converge.

In che modo mostriamo che converge? Seguendo lo schema che ti ho scritto sopra.

Alla fine, una volta che abbiamo dimostrato che $RR^n$ è completo, possiamo dire che anche ogni sottospazio chiuso di $RR^n$ è completo, perchè i sottospazi chiusi in un metrico completo sono completi (ma questa cosa non c'entra niente con l'esercizio che devi fare tu). Ora hai capito?

[paolotesla91]

ok credo di aver capito dimmi solo se quello che scrivo qui di seguito è giusto .)

Sia $x_k in RR^n$ successione di Cauchy. La successione si dice limitata se: $EE J in NN t.c.: |x_k|
Dunque se una successione di Cauchy $x_k in RR^n$ ammette una successione estratta convergente ad $x in RR^n$, allora anche $x_k->x$.

DIM.

Sia $x_k$ successione di Cauchy, cioè: $AA\epsilon>0, EE\nu in NN: ||x_k-x_h||<\epsilon, AA h,k>\nu$

Sia $x_(kr)$ successione estratta da $x_k$ convergente ad $x in RR^n$, cioè:

$AA\epsilon>0, EE r>\nu t.c.: ||x_(kr)-x||<\epsilon, AAk_r>=r$

Allora siccome $k_r>=r>\nu$ ho che:

$||x_k-x||<=||x_k-x_(kr)||+||x_(kr)-x||<\epsilon+\epsilon=2\epsilon$

Quindi la successione di partenza è limitata e converge ad $x$. Dunque $RR^n$ è spazio completo.

E' giusto?

[Paolo902]

"paolotesla91": Sia $x_k in RR^n$ successione di Cauchy. La successione si dice limitata se: $EE J in NN t.c.: |x_k|

Con $x_k$ di solito si intende il termine $k$-esimo della successione (un numero o, in questo caso, un vettore). Per indicare una successione io preferisco usare $(x_k)_{k \in \NN}$.

Per quanto riguarda la definizione che riporti, è incompleta e imprecisa. E poi perchè chiedi che $J \in \NN$? D'accordo, è equivalente, ma di solito si può prendere un numero reale. Una successione $(x_k)_{k \in \mathbb N} \subseteq RR^n$ si dice limitata se sta tutta dentro una palla che, per comodità, prendiamo centrata nell'origine: in altre parole, una successione è limitata se [tex]\exists M \in \mathbb R[/tex] tale che [tex]\Vert x_k \Vert \le M, \, \forall k \in \mathbb{N}[/tex].

Ti prego di notare la presenza della norma e del quantificatore, assenti nella tua definizione.

"paolotesla91": Dunque se una successione di Cauchy $x_k in RR^n$ ammette una successione estratta convergente ad $x in RR^n$, allora anche $x_k->x$.

DIM.

Sia $x_k$ successione di Cauchy, cioè: $AA\epsilon>0, EE\nu in NN: ||x_k-x_h||<\epsilon, AA h,k>\nu$

Sia $x_(kr)$ successione estratta da $x_k$ convergente ad $x in RR^n$, cioè:

$AA\epsilon>0, EE r>\nu t.c.: ||x_(kr)-x||<\epsilon, AAk_r>=r$

Allora siccome $k_r>=r>\nu$ ho che:

$||x_k-x||<=||x_k-x_(kr)||+||x_(kr)-x||<\epsilon+\epsilon=2\epsilon$

Quindi la successione di partenza è limitata e converge ad $x$.

Sì, ci sei, a patto di dire meglio perché $k_r>=r>\nu$: perchè gli indici dell'estratta diventano grandi? Ti è chiaro il perchè?

Ora, per concludere l'esercizio di partenza, ti resta da dimostrare che esiste una estratta convergente.

[paolotesla91]

Si grazie della correzione. La relazione $k_r>=r>\nu$ deve essere verificata per far valere tutte le ipotesi definite prima, cioè per far valere la tesi devono essere verificate tutte le ipotesi. Ora non capisco cosa intendi per indici grandi e poi, non ho già dimostrato che c'è una successione estratta convergente? o.O

[Paolo902]

"paolotesla91":Si grazie della correzione. La relazione $k_r>=r>\nu$ deve essere verificata per far valere tutte le ipotesi definite prima, cioè per far valere la tesi devono essere verificate tutte le ipotesi. Ora non capisco cosa intendi per indici grandi

Sì, perchè valga la tesi devono essere verificate le ipotesi fin qui non ci piove. Perchè vale $k_r > nu$?

"paolotesla91":e poi, non ho già dimostrato che c'è una successione estratta convergente? o.O

Dove l'hai dimostrato?

[paolotesla91]

Scusa Paolo ma non ti seguo. L'indice $k_r$ deve essere $>\nu$ perchè: l'estratta per ssere convergente bisogna che si verifichi: $||x_(kr)-x||<\epsilon, AAr>\nu$ anche se non ho capito bene il perchè l'indice r debba essere maggiore dell'indice per cui la successione è una successione di cauchy. Quindi ora devo applicare Bolzano-Weierstrass per dimostrare che quella successione $x_(kr)$ è una estratta da $x_k$ giusto?

P.S. potresti chiarirmi il dubbio di cui sopra?

[Paolo902]

Io non riesco a capire quello che scrivi, porta pazienza, sarà un limite mio, ma trovo le tue frasi prive di senso.

Ti scrivo qui di seguito come avrei fatto io la dimostrazione.

Sia $(x_n)_n \subset RR^n$ una successione di Cauchy.
1) La successione è limitata: qui trovi una dimostrazione di questo fatto.

2) Siccome è limitata, per Bolzano-Weierstrass, ammette estratta convergente, $(x_{nk})_{k \in NN}$, sia $\lim_{k \to +\infty}x_(nk)=x$.

3) Ora mostro che tutta la successione converge a $x$: poiché $x_n$ è di Cauchy, fissato $\epsilon>0$, $EE\nu in NN$ tale che se $n,m> \nu$ si ha $||x_n-x_m||<\epsilon$. D'altra parte, poichè l'estratta $x_(n_k)$ converge ad $x$, esisterà un $K\in\NN$ tale che se $k > K$ allora $||x_(n_k)-x||<\epsilon$.

Ora, per definizione di sottosuccessione, la "pesca" degli infiniti elementi avviene in modo crescente: formalmente, la mappa $k \mapsto n_k$ deve essere crescente. Ma quindi $n_k \to \infty$ quando $k \to \infty$ e perciò $n_k>nu$ da un certo $k_0$ in poi.

Ora $||x_n-x|| \le || x_n-x_{n_k}||+|| x_{n_k}-x||$: il secondo addendo, per $k>K$ si maggiora chiaramente con $epsilon$ e così pure il primo, quando $n_k>nu$ cioè quando $k>k_0$. Insomma, per $k>\tilde{k}=\max{K, k_0}$ e quindi per $n>\tilde{n}:=n_{tilde{k}}$ si ha $||x_n-x||

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[paolotesla91]

si paolo era quello che intendevo ma forse io l'ho scritto in modo meno preciso! inoltre ho rivisto un pò la dimostrazione di analisi 1 di bolzano ed ora ho capito il perchè della relazione degli indici! Grazie mille a te a a Marino.

[gugo82]

Apro e chiudo parentesi.

Per la dimostrazione basta notare che per ogni vettore \(a=(a^1,\ldots ,a^N)\in \mathbb{R}^N\) valgono le relazioni:
\[
|a^1|,\ldots ,|a^N|\leq \lVert a\rVert \leq\sqrt{N}\ \max \{ |a^1|,\ldots , |a^N|\}
\]
(qui \(|\cdot|\) è il valore assoluto dei reali e \(\lVert \cdot \rVert\) è il modulo di \(\mathbb{R}^N\)).
Conseguentemente, per ogni fissata successione di termine generale \(x_k=(x_k^1,\ldots ,x_k^N) \in \mathbb{R}^N\), per ogni coppia d'indici \(h,k\in \mathbb{N}\) risulta:
\[
|x_k^1-x_h^1|,\ldots ,|x_k^N-x_h^N|\leq \lVert x_k-x_h\rVert \leq \sqrt{N}\ \max \{ |x_k^1-x_h^1|,\ldots , |x_k^N-x_h^N|\}\; ;
\]
ciò implica che:

i. La successione \((x_k)\subseteq \mathbb{R}^N\) è di Cauchy in \(\mathbb{R}^N\) se e solo se le \(N\) successioni \((x_k^1),\ldots ,(x_k^N)\subseteq \mathbb{R}\) sono di Cauchy in \(\mathbb{R}\).

ii. La successione \((x_k)\subseteq \mathbb{R}^N\) è convergente verso \(x=(x^1,\ldots ,x^N)\in \mathbb{R}^N\) se e solo se le \(N\) successioni \((x_k^1),\ldots ,(x_k^N)\subseteq \mathbb{R}\) convergono rispettivamente verso \(x^1,\ldots ,x^N\in \mathbb{R}\).

Da quest'ultimo teorema discende subito la completezza di \(\mathbb{R}^N\).
Infatti, se \((x_k)\subseteq \mathbb{R}^N\) è di Cauchy, tali sono le successioni delle coordinate \((x_k^1),\ldots ,(x_k^N)\subseteq \mathbb{R}\) (per i); la completezza di \(\mathbb{R}\) implica che esistono \(N\) numeri \(x^1,\ldots ,x^N\in \mathbb{R}\) tali che \(x_k^1\to x^1,\ldots ,x_k^N\to x^N\); ma allora si ha \(x_k\to x\) in \(\mathbb{R}^N\) (per ii). Ciò significa che ogni successione di Cauchy in \(\mathbb{R}^N\) è convergente in \(\mathbb{R}^N\), dunque \(\mathbb{R}^N\) è completo.

[paolotesla91]

ok grazie gugo..senz'altro la tua dimostrazione è più diretta è anche più comprensibile dal mio punto di vista ma ringrazio comunque tutti e tre per l'intervento