Completezza di $RR^n$
Salve a tutti,
sto studiando la completezza degli spazi metrici, e in particolare di $RR^n$ con distanza euclidea, con dimostrazione basata su Criterio di Cauchy.
La dimostrazione comincia, data una successione {$x_n$} di Cauchy, definendo per n=1,2,3.....due successioni, prese nel seguente modo:
$l_n$=inf$_{k>=n}$ {$x_k$} e $L_n$=sup$_{k>=n}$ {$x_k$}
Primo quesito: non capisco come siano fatte queste successioni, cioè: prendendo per esempio la successione in $RR$ {1/n}, essa è di Cauchy, e l'inf della coda n-esima, per n=1,2,3... è sempre e comunque 0, mentre il sup della coda n-esima è 1, 1/2, 1/3.....
Capisco quindi in questo caso l'affermazione seguente che mi dice: ovviamente {$L_n$} è una successione decrescente (infatti i valori sono decrescenti), e che {$l_n$} è una successione crescente (anche se nel mio caso è costante, ma comunque è crescente in senso non stretto, giusto?) ma non capisco bene come siano fatte le successioni delle code n-esime, mi potreste fare un esempio diverso in cui si vede che l'inf della coda cresce e il sup decresce? non riesco a visualizzarlo (ovviamente in $RR$, non in $RR^n$).
Secondo quesito: affermando che {$l_n$} è crescente e {$L_n$} decrescente, il libro prosegue dicendo che
$l_n <= x_n <= L_n$ $AA$ n $in$ $NN$, (giusto), e che:
$l_n rarr$ sup $l_k$ (il sup, dice il libro, preso su k) e che $L_n rarr$ inf $L_k$ (l'inf sempre fatto su k). Che vuol dire fatto su k? {ln} tende al sup degli {lk}, cioè al sup degli inf delle code n-esime su tutti i possibili n (e chiama i possibili n con l'indice k ?è questo che significa?)cioè nel caso della successione {1/n} {$l_n$} tende a 0 e anche {$L_n$} tende a 0?
Infatti poi la dimostrazione spiega che inf $L_k$ - sup $l_k <= L_n - l_n = \delta_n$ il quale delta è il diametro della coda n-esima: essendo la successione di Cauchy il diametro tende a 0 e inf $L_k$ = sup $l_k$ = L, e conclude facendo vedere che per n abbastanza grande si ha la disuguaglianza
$L-\epsilon <= l_n <= x_n <= Ln <= L+ \epsilon$ che mi torna, essendo $L_n$ e $l_n$ tendenti, per n grande, al minorante e maggiorante(L) delle successioni {$l_n$} e {$L_n$}.
Quindi la domanda riguarda queste successioni ln e Ln e se qualcuno può aiutarmi a visualizzarle. grazie!
sto studiando la completezza degli spazi metrici, e in particolare di $RR^n$ con distanza euclidea, con dimostrazione basata su Criterio di Cauchy.
La dimostrazione comincia, data una successione {$x_n$} di Cauchy, definendo per n=1,2,3.....due successioni, prese nel seguente modo:
$l_n$=inf$_{k>=n}$ {$x_k$} e $L_n$=sup$_{k>=n}$ {$x_k$}
Primo quesito: non capisco come siano fatte queste successioni, cioè: prendendo per esempio la successione in $RR$ {1/n}, essa è di Cauchy, e l'inf della coda n-esima, per n=1,2,3... è sempre e comunque 0, mentre il sup della coda n-esima è 1, 1/2, 1/3.....
Capisco quindi in questo caso l'affermazione seguente che mi dice: ovviamente {$L_n$} è una successione decrescente (infatti i valori sono decrescenti), e che {$l_n$} è una successione crescente (anche se nel mio caso è costante, ma comunque è crescente in senso non stretto, giusto?) ma non capisco bene come siano fatte le successioni delle code n-esime, mi potreste fare un esempio diverso in cui si vede che l'inf della coda cresce e il sup decresce? non riesco a visualizzarlo (ovviamente in $RR$, non in $RR^n$).
Secondo quesito: affermando che {$l_n$} è crescente e {$L_n$} decrescente, il libro prosegue dicendo che
$l_n <= x_n <= L_n$ $AA$ n $in$ $NN$, (giusto), e che:
$l_n rarr$ sup $l_k$ (il sup, dice il libro, preso su k) e che $L_n rarr$ inf $L_k$ (l'inf sempre fatto su k). Che vuol dire fatto su k? {ln} tende al sup degli {lk}, cioè al sup degli inf delle code n-esime su tutti i possibili n (e chiama i possibili n con l'indice k ?è questo che significa?)cioè nel caso della successione {1/n} {$l_n$} tende a 0 e anche {$L_n$} tende a 0?
Infatti poi la dimostrazione spiega che inf $L_k$ - sup $l_k <= L_n - l_n = \delta_n$ il quale delta è il diametro della coda n-esima: essendo la successione di Cauchy il diametro tende a 0 e inf $L_k$ = sup $l_k$ = L, e conclude facendo vedere che per n abbastanza grande si ha la disuguaglianza
$L-\epsilon <= l_n <= x_n <= Ln <= L+ \epsilon$ che mi torna, essendo $L_n$ e $l_n$ tendenti, per n grande, al minorante e maggiorante(L) delle successioni {$l_n$} e {$L_n$}.
Quindi la domanda riguarda queste successioni ln e Ln e se qualcuno può aiutarmi a visualizzarle. grazie!
Risposte
Innanzitutto una osservazione elementare: se $A$ e $B$ sono sottoinsiemi non vuoti di $RR$, allora
$A\subset B => "inf" A \ge "inf" B, "sup" A\le "sup" B$.
Basta pensarci un attimo: tutti gli elementi di $A$ sono contenuti in $B$, quindi quando fai l'inf in $B$ "c'è più roba" e quindi l'inf può venire minore (e sicuramente non maggiore), viceversa quando fai il sup.
A questo punto dovrebbe essere chiara la monotonia delle successioni da te indicate: per calcolare $l_n$ ed $L_n$ usi l'insieme
$B= \{x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...\}$, mentre per calcolare $l_{n+1}$ ed $L_{n+1}$ usi l'insieme "più piccolo"
$A= \{x_{n+1}, x_{n+2}, ...\}$.
Una volta stabilita la monotonia (crescente di $l_n$ e decrescente di $L_n$), per quanto riguarda i limiti ti basta ricordare il
Teorema. Sia $(a_n)$ una successione monotona crescente [risp. decrescente]. Allora esiste finito o $+\infty$ [risp. $-\infty$]
il limite $\lim_n a_n$, e si ha
$\lim_n a_n = "sup"_n a_n = "sup" \{a_n: n\in NN\}$ [risp. $\lim_n a_n = "inf"_n a_n$].
$A\subset B => "inf" A \ge "inf" B, "sup" A\le "sup" B$.
Basta pensarci un attimo: tutti gli elementi di $A$ sono contenuti in $B$, quindi quando fai l'inf in $B$ "c'è più roba" e quindi l'inf può venire minore (e sicuramente non maggiore), viceversa quando fai il sup.
A questo punto dovrebbe essere chiara la monotonia delle successioni da te indicate: per calcolare $l_n$ ed $L_n$ usi l'insieme
$B= \{x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...\}$, mentre per calcolare $l_{n+1}$ ed $L_{n+1}$ usi l'insieme "più piccolo"
$A= \{x_{n+1}, x_{n+2}, ...\}$.
Una volta stabilita la monotonia (crescente di $l_n$ e decrescente di $L_n$), per quanto riguarda i limiti ti basta ricordare il
Teorema. Sia $(a_n)$ una successione monotona crescente [risp. decrescente]. Allora esiste finito o $+\infty$ [risp. $-\infty$]
il limite $\lim_n a_n$, e si ha
$\lim_n a_n = "sup"_n a_n = "sup" \{a_n: n\in NN\}$ [risp. $\lim_n a_n = "inf"_n a_n$].
mmmh....si il discorso sugli insiemi a e b uno dentro l'altro mi torna.....e il teorema sulle successioni monotone è a posto, mi tornava di già il perchè....io volevo chiederti se potevi farmi un esempio prendendo un paio di successioni di cauchy e facendomi vedere come vengono le successioni ln e Ln....
grazie in ogni caso, sei stato molto utile!
ciao, gioia
grazie in ogni caso, sei stato molto utile!
ciao, gioia
Per quanto riguarda l'esempio, basta prendere la successione di termine generale [tex]$a_n:=\frac{(-1)^n}{n}$[/tex].
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