Completezza di $L^1$
Salve a tutti, il seguente esempio sembra contraddire la completezza di $ (L^1(RR),|*|_1:=intf ) $ . Qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio?
Considero la funzione $ f_n(x)={ ( n ),( 1/x ),( 0 ):} $ $ {: ( x in[0;1/n] ),( x in (1/n;1] ),( a l t r o v e) :} $.
La successione è di Cauchy, infatti $ |(f_n-f_m)|_1=int_m^n1/ydy=logy|_m^n=log(n/m)->0 $ ; però deve necessariamente convergere a $ f(x)=1/x $ su $ [0;1] $ che non è integrabile secondo Lebesgue cioè non è in $L^1$.
Considero la funzione $ f_n(x)={ ( n ),( 1/x ),( 0 ):} $ $ {: ( x in[0;1/n] ),( x in (1/n;1] ),( a l t r o v e) :} $.
La successione è di Cauchy, infatti $ |(f_n-f_m)|_1=int_m^n1/ydy=logy|_m^n=log(n/m)->0 $ ; però deve necessariamente convergere a $ f(x)=1/x $ su $ [0;1] $ che non è integrabile secondo Lebesgue cioè non è in $L^1$.
Risposte
La successione non è di Cauchy.
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\) ti basta scegliere \(m = 2n\) per avere
\[
\|f_n -f_m\|_1 = \log 2.
\]
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\) ti basta scegliere \(m = 2n\) per avere
\[
\|f_n -f_m\|_1 = \log 2.
\]
Grazie mille!
Se hai tempo potresti anche darmi un esempio che giustifichi il fatto che per il completamento di $ C_c^0(RR) $ si è dovuto introdurre $ L^1(RR) $ e non è bastato $ R(RR) $ (funzioni Riemann integrabili)?
Se hai tempo potresti anche darmi un esempio che giustifichi il fatto che per il completamento di $ C_c^0(RR) $ si è dovuto introdurre $ L^1(RR) $ e non è bastato $ R(RR) $ (funzioni Riemann integrabili)?
Esistono successioni di funzioni continue che convergono verso funzioni non integrabili à la Riemann nonostante esse siano di Cauchy in norma $L^1$.
Gli esempi che mi vengono in mente non sono semplicissimi... Però si possono costruire "con le mani".
Ad esempio, considera una enumerazione $(r_n)$ dei razionali dell'intervallo $[0,1]$ e prendi una successione $(\varepsilon_n)$ di numeri positivi e rapidamente convergente a zero (e.g., $\varepsilon_n = 2^{-n}$).
Prendi una funzione $f_n$ il cui rettangoloide è fatto dall'asse delle ascisse cui vengono aggiunti $n$ triangoli isosceli con basi $[r_k-\varepsilon_n, r_k+\varepsilon_n]$ e vertice alto in $(r_k,1)$ (per $k=1,\ldots ,n$).
Ognuna delle $f_n$ è continua ed ha supporto compatto (contenuto in $[-1,2]$, va...).
La successione $(f_n)$ tende (puntualmente) alla funzione di Dirichlet $\delta := \chi_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$, la quale non è integrabile à la Riemann.
Inoltre, la $(f_n)$ è di Cauchy rispetto alla norma $L^1$, in quanto la norma \(\| f_n-f_{n+p}\|_1\) si controlla con l'area del rettangoloide relativo ad $f_{n+p}$, che è una cosa del tipo $(n+p)\varepsilon_{n+p}$ e tende a zero per $p\to +\infty$.
Ti pare?
Gli esempi che mi vengono in mente non sono semplicissimi... Però si possono costruire "con le mani".
Ad esempio, considera una enumerazione $(r_n)$ dei razionali dell'intervallo $[0,1]$ e prendi una successione $(\varepsilon_n)$ di numeri positivi e rapidamente convergente a zero (e.g., $\varepsilon_n = 2^{-n}$).
Prendi una funzione $f_n$ il cui rettangoloide è fatto dall'asse delle ascisse cui vengono aggiunti $n$ triangoli isosceli con basi $[r_k-\varepsilon_n, r_k+\varepsilon_n]$ e vertice alto in $(r_k,1)$ (per $k=1,\ldots ,n$).
Ognuna delle $f_n$ è continua ed ha supporto compatto (contenuto in $[-1,2]$, va...).
La successione $(f_n)$ tende (puntualmente) alla funzione di Dirichlet $\delta := \chi_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$, la quale non è integrabile à la Riemann.
Inoltre, la $(f_n)$ è di Cauchy rispetto alla norma $L^1$, in quanto la norma \(\| f_n-f_{n+p}\|_1\) si controlla con l'area del rettangoloide relativo ad $f_{n+p}$, che è una cosa del tipo $(n+p)\varepsilon_{n+p}$ e tende a zero per $p\to +\infty$.
Ti pare?
Mi sembra tutto chiaro! Ho una sola perplessità... il fatto che l'insieme dei razionali sia denso nell'insieme dei reali e quindi che negli intervalli $ [r_k -epsi_n;r_k +epsi_n] $ cadono sempre altri razionali, non comporta problemi nella scelta del razionale successivo per definire $ f_(n+1) $ ?
"Pierlu11":
Mi sembra tutto chiaro! Ho una sola perplessità... il fatto che l'insieme dei razionali sia denso nell'insieme dei reali e quindi che negli intervalli $ [r_k -epsi_n;r_k +epsi_n] $ cadono sempre altri razionali, non comporta problemi nella scelta del razionale successivo per definire $ f_(n+1) $ ?
Forse c'è qualche problema, dovuto alla densità, ma non nel senso che pensi tu...
La densità di \(\mathbb{Q}\) non influisce sul fatto che \(\mathbb{Q}\) sia numerabile, dunque ogni sui sottoinsieme infinito lo è; pertanto l'insieme \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) (che è infinito per densità!) è numerabile e ciò comporta, per definizione, che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Quindi \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) è l'immagine di una successione.
Il problema duvuto alla densità, invece, mi pare sia che riesce difficile stabilire l'implicazione:
\[
x\in [0,1]\setminus \mathbb{Q}\quad \Rightarrow \quad \lim_n f_n(x) = 0 = \delta (x)\; ,
\]
quindi l'esempio potrebbe non funzionare.
Tuttavia, si può prendere un'altra strada... Infatti, per mostrare che \(R(\mathbb{R})\) non è il completamento di \(C_c(\mathbb{R})\) rispetto alla metrica di \(L^1\) basta provare che \(R(\mathbb{R})\) non è uno spazio metrico completo rispetto a tale metrica.
Ciò si fa in maniera molto facile, sfruttando sempre la numerabilità di \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\): infatti, detta come al solito $(r_n)$ un'enumerazione dei razionali in $[0,1]$, ponendo:
\[
f_n(x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x=r_1,\ldots , r_n\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
ottieni una successione di funzioni integrabili à la Riemann in tutto \(\mathbb{R}\) (poiché q.o. nulle), che è di Cauchy rispetto alla norma $L^1$ (poiché l'integrale di Riemann di una funzione q.o. nulla è nullo) e che però non converge in \(R(\mathbb{R})\), in quanto converge puntualmente alla funzione $\delta$ di Dirichlet.
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