Completezza del sistema trigonometrico
Nella dimostrazione della completezza del sistema trigonometrico c'è una cosa che proprio non ho capito. Definita la funzione $ x{::}_(2)(t)=int_(0)^(t) x{::}_(1)(a) da+ct $, dove $ AA t in [-pi,pi] $ e in cui è posto $ c=-1/(2pi)int_(-pi)^(pi) x{::}_(1) (a) da $ , si ha che, tutti i coefficienti di Fourier di $x{::}_(2)(t)$ nel sistema trigonometrico 1, cost, sent,...., cos (nt), sen(nt),... sono pari a zero tranne il primo. Perciò la serie di Fourier di $x{::}_(2)$ è costante. Fin qui tutto ok. Ma perchè siccome $ x{::}_(2)=x'{::}_(1)+c $ e visto che $ x{::}_(2)(-pi)=x{::}_(2)(pi) $ (come si può facilmente verificare sostituende i valori nella funzione), $ x{::}_(2) $ coincide con la somma della sua serie di Fourier ed quindi è costante?
N.B.
$ x{::}_(1) $ è a sua volta definito come $ x{::}_(1)(t)=int_(0)^(t) x(a) da $ , $ AA t in [-pi,pi] $
N.B.
$ x{::}_(1) $ è a sua volta definito come $ x{::}_(1)(t)=int_(0)^(t) x(a) da $ , $ AA t in [-pi,pi] $
Risposte
Vuoi dire $x'_2=x_1+c$?
Si scusa, è che non sapevo come indicare la derivata.
Comunque non si capisce che cosa dici. Definisci i simboli che usi. $x$ chi è? $x_1$ chi è?
Se rileggi ora penso che va meglio. Cmq il file col testo della dimostrazione completa è disponibile al seguente indirizzo http://www.megaupload.com/?d=CDRW8QCE
Finalmente credo di avere capito. Il tuo professore deve avere dimostrato un risultato classico delle serie trigonometriche, e cioè il fatto che ogni funzione $C^1(-pi, pi)$ e $2pi$-periodica è la somma puntuale della propria serie di Fourier. Con questo risultato, se trova che una funzione con queste proprietà di regolarità ha la serie di Fourier identicamente nulla può concludere che la funzione stessa è identicamente nulla. E' il caso della derivata prima della tua funzione $x_2$, che quindi è costante.
Però, per favore, le prossime volte scrivi le cose per bene sul forum. Altrimenti obblighi chi ti voglia seguire a scaricare (tramite megaupload poi, che con i suoi tempi di attesa è particolarmente esasperante) dei fogli di appunti scritti a mano e tutti sottolineati ed evidenziati, di difficile comprensione.
[OT] Nel caso te lo stia chiedendo: io sono uno di quelli che detesta bianchetti, evidenziatori, post-it e ammennicoli vari di cancelleria applicati a libri e/o appunti!
Però, per favore, le prossime volte scrivi le cose per bene sul forum. Altrimenti obblighi chi ti voglia seguire a scaricare (tramite megaupload poi, che con i suoi tempi di attesa è particolarmente esasperante) dei fogli di appunti scritti a mano e tutti sottolineati ed evidenziati, di difficile comprensione.
[OT] Nel caso te lo stia chiedendo: io sono uno di quelli che detesta bianchetti, evidenziatori, post-it e ammennicoli vari di cancelleria applicati a libri e/o appunti!
Hai ragione su tutto, comunque la tua risposta per un verso mi convince e per un altro no. Io al tuo posto userei il classico criterio di Dirichlet per la convergenza della serie di Fourier. L'unico cosa, che poi è il punto chiave è la condizione che $ x{::}_(2)(-pi)=x{::}_(2)(pi) $. Secondo la tua risposta, penso che questo ti assicurava che la funzione era $2pi$-periodica, anche se non capisco come. Ora ti pongo un'altra domanda, per me molto importante ( visto che questa condizione è fondamentale, se leggi la dimostrazione, per dimostrare che %x{::}_(2)(t)% è la somma della propria serie di Fourier): il fatto che $ x{::}_(2)(-pi)=x{::}_(2)(pi) $ mi autorizza a dire che $ x{::}_(2)(-pi)$ è assolutamente sommabile e in che modo? Forse perchè se in quel punto avesse un punto cuspidale allora la funzione non sarebbe più sommabile? Fammi sapere. Grazie e scusa ancora per la poca correttezza delle mie formule, ma da quando ho cominciato a scrivere qui già sono migliorato molto.
Tu stai considerando funzioni definite in $[-pi, pi]$, che si intendono prolungate per periodicità. Ecco un esempio con $f(x)=x$:
[asvg]xmin=-9.42; xmax=9.42; axes(); xmin=-9.42; xmax=-3.14; plot("x+6.28"); xmin=-3.14; xmax= 3.14; plot("x"); xmin=3.14; xmax=9.42; plot("x-6.28");[/asvg]Questo nel mio messaggio di ieri non si capiva, sono stato poco chiaro. Comunque, come puoi vedere se $f(-pi) \ne f(pi)$, la funzione prolungata per periodicità presenterà delle discontinuità in corrispondenza dei punti multipli di $pi$ e di $-pi$. E come sai in corrispondenza delle discontinuità la serie di Fourier ha problemi di convergenza (fenomeno di Gibbs). Ecco perché il tuo prof si premura di verificare che $x_2(-pi)=x_2(pi)$.
[asvg]xmin=-9.42; xmax=9.42; axes(); xmin=-9.42; xmax=-3.14; plot("x+6.28"); xmin=-3.14; xmax= 3.14; plot("x"); xmin=3.14; xmax=9.42; plot("x-6.28");[/asvg]Questo nel mio messaggio di ieri non si capiva, sono stato poco chiaro. Comunque, come puoi vedere se $f(-pi) \ne f(pi)$, la funzione prolungata per periodicità presenterà delle discontinuità in corrispondenza dei punti multipli di $pi$ e di $-pi$. E come sai in corrispondenza delle discontinuità la serie di Fourier ha problemi di convergenza (fenomeno di Gibbs). Ecco perché il tuo prof si premura di verificare che $x_2(-pi)=x_2(pi)$.
Ok. Ho capito. Ma per soddisfare il criterio di Dirichlet la funzione deve essere assolutamente integrabile. Nel mio caso lo è e se si perchè? Comunque dal fatto che $ x{::}_(2)(-pi)=x{::}_(2)(pi) $ si evince che la funzione è periodica di periodo $2pi$, ed essendo continua certamente non avrà discontinuità, o non è così?
MA certo che è assolutamente integrabile, è addirittura $C^1[-pi, pi]$. Per l'altro punto, la $x_2(-pi)=x_2(pi)$ serve appunto a dire che $x_2$ è continua ovunque: nei punti non multipli di $pi, -pi$, la funzione è addirittura $C^1$, nei multipli di $pi, -pi$, la condizione ti assicura la continuità.
Non capisco perchè è assolutamente integrabile. Me lo puoi spiegare meglio. E non capisco se il fatto che assume gli sessi valori in $-pi$ e in $pi$ serve per dire che la funzione è periodica o è continua.
1) Una funzione continua in un intervallo compatto è assolutamente integrabile nello stesso.
2) Serve a dire che il prolungamento periodico della funzione è continuo.
2) Serve a dire che il prolungamento periodico della funzione è continuo.
Si ma la funzione $x{::}_(2)(t)$ non è periodica però, io ho fatto i conti e non verifica la definizione. D'altro canto il criterio di Dirichlet si deve applicare su $x{::}_(2)(t)$ e non sulla sua derivata. Inoltre il criterio di Dirichlet dice che la funzione deve essere assolutamente integrabile su R non solo su $[-pi,pi]$.
E allora stiamo parlando di cose diverse. Enuncia il criterio di Dirichlet per favore.
Ti chiedo scusa l'assoluta integrabilità deve esserci solo sul periodo T, che nel nostro caso vale $2pi$. Comunque, questo criterio si applica alla $x{::}_(2)(t)$ e non alla sua derivata. Volevo poi sapere se tale funzione, cioè $x{::}_(2)(t)$ è periodica e se si perchè. Grazie
Visto? Lo sapevo. In un contesto di serie di Fourier, l'assoluta integrabilità ti serve solo su un periodo e non su tutto $RR$. Questo perché della tua funzione ti è sufficiente considerare un periodo per avere informazioni anche su tutto il resto.
Il fatto poi che $x_2$ è periodica l'ho già detto molte volte, forse non sono stato chiaro. Tu stai considerando una funzione definita solo in $[-pi, pi]$, immaginando di prolungarla per periodicità a tutto $RR$. Quindi se chiedi: $x_2$ è $2pi$-periodica? in realtà stai chiedendo: il prolungamento $2pi$-periodico di $x_2$ è $2pi$ periodico? e la risposta a quest'ultima domanda è ovviamente si.
In un contesto di serie di Fourier, l'assoluta integrabilità ti serve solo su un periodo e non su tutto $RR$. Questo perché della tua funzione ti è sufficiente considerare un periodo per avere informazioni anche su tutto il resto.Il fatto poi che $x_2$ è periodica l'ho già detto molte volte, forse non sono stato chiaro. Tu stai considerando una funzione definita solo in $[-pi, pi]$, immaginando di prolungarla per periodicità a tutto $RR$. Quindi se chiedi: $x_2$ è $2pi$-periodica? in realtà stai chiedendo: il prolungamento $2pi$-periodico di $x_2$ è $2pi$ periodico? e la risposta a quest'ultima domanda è ovviamente si.
OK. Grazie.
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