Complessi....davvero complessi.....
ciao a tutti amici,qualcuno puo' dirmi quali sono: Tutte le soluzioni dell’equazione z5 + 32 = 0;
Risposte
"viestana":
ciao a tutti amici,qualcuno puo' dirmi quali sono: Tutte le soluzioni dell’equazione z5 + 32 = 0;
$z^5=-32$
Formula di De Moivre
$z^n=alpha->z=|alpha|^(1/n)e^(1/n*i(arg(alpha)+2kpi)),k=0,1,2,....,n-1$
Nel tuo caso $alpha=-32->|alpha|=32,arg(alpha)=pi$ per cui
$z=2e^(i/5(pi+2kpi)),k=0,1,2,3,4$
Penso tu avessi voluto scrivere $z^5 + 32 = 0$. Dato che $z$ è un numero complesso, si può scrivere in modulo e fase come $z = \rho e^{j \theta}$, con $\rho$ e $\theta$ reali, tali che $\rho \ge 0$ e $\theta \in [0, 2 \pi]$, pertanto l'equazione diventa
$\rho^5 e^{j 5\theta} = -32$.
Anche $-32$ è un numero complesso, e si può scrivere in modulo e fase, cioè $-32 = 32 e^{j \pi}$, quindi
$\rho^5 e^{j 5\theta} = 32 e^{j \pi}$
da cui
$\rho = 2$, $5 \theta = \pi + 2 k \pi \implies \theta = \frac{\pi}{5} + \frac{2}{5} k \pi$, con $k = 0, 1, 2, 3, 4$.
Quindi le cinque soluzioni sono
$z_{1,2,3,4,5} = 2 e^{j (\frac{\pi}{5} + \frac{2}{5} k \pi)}$, $k = 0,1,2,3,4$.
EDIT: pardon nicola non avevo visto la tua risposta... ma visto che l'ho scritta, mi fa fatica cancellarla.
$\rho^5 e^{j 5\theta} = -32$.
Anche $-32$ è un numero complesso, e si può scrivere in modulo e fase, cioè $-32 = 32 e^{j \pi}$, quindi
$\rho^5 e^{j 5\theta} = 32 e^{j \pi}$
da cui
$\rho = 2$, $5 \theta = \pi + 2 k \pi \implies \theta = \frac{\pi}{5} + \frac{2}{5} k \pi$, con $k = 0, 1, 2, 3, 4$.
Quindi le cinque soluzioni sono
$z_{1,2,3,4,5} = 2 e^{j (\frac{\pi}{5} + \frac{2}{5} k \pi)}$, $k = 0,1,2,3,4$.
EDIT: pardon nicola non avevo visto la tua risposta... ma visto che l'ho scritta, mi fa fatica cancellarla.
innanzi tutto grazie per le veloci risposte,
ma non era lo stesso se scrivevo z=-2?
cioe' l'esercizio mi chiede sostanzialmente di trovare le radici quinte di (-2) o no ?
grazie
michele.
ma non era lo stesso se scrivevo z=-2?
cioe' l'esercizio mi chiede sostanzialmente di trovare le radici quinte di (-2) o no ?
grazie
michele.
"viestana":radici quinte significa 5 radici e non una sola
innanzi tutto grazie per le veloci risposte,
ma non era lo stesso se scrivevo z=-2?
cioe' l'esercizio mi chiede sostanzialmente di trovare le radici quinte di (-2) o no ?
grazie
michele.
intendevo dire le 5 radici di -2....
e cosi ' o no ?
e cosi ' o no ?
"viestana":
intendevo dire le 5 radici di -2....
e cosi ' o no ?
che significa le 5 radici di -2?
Occhio viestana, $-2$ è una soluzione dell'equazione con molteplicità algebrica $1$, non con molteplicità algebrica $5$.
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