Complessi non ordinati (dimostrazione corretta?)

[nato_pigro1]

Su wikipedia ho trovato questa dimostrazione della mancanza di ordinamento in $CC$

Siano $a$ e $b$ due numeri complessi, con $a < b$. Si moltiplichino entrambi i membri della disequazione per $i$ (l'unità immaginaria) due volte:

$i·i·a < i·i·b$

Dato che, per definizione, $i^2 = - 1$ si ottiene:

$− a < − b$.

Si sommi ad entrambi i membri l'espressione $(a + b)$:

$(a + b) − a < (a + b) − b$,

si eliminano le parentesi e i termini opposti e si ottiene

$b < a$.

Questo è un risultato in contraddizione con la premessa quindi non può essere definito in generale un ordinamento nei numeri complessi.

Non capisco alcune cose: il simbolo "$<$" è il "minore" nei reali? oppure significa solo "precede"?
nel primo caso il minore non è una relazione d'ordine in quanto non è riflessiva e comunque chi ci autorizza a usarlo nel complessi?
nel secondo caso come faccio a sapere che mi è concesso moltiplicare (o sommare) da entrambe le parti per la stessa quantità mantendo vera la relazione tra i due elementi?

[gugo82]

Visto che la dimostrazione è fatta per assurdo, credo che $<$ sia una relazione d'ordine stretto in $CC$ compatibile con le due operazioni.

Ad ogni modo, si può procedere pure per altra via. In un anello unitario ordinato, ogni quadrato è non negativo (per la regola dei segni); in particolare l'unità $1=1^2$ è non negativa, cosicché il suo opposto $-1$ è non positivo.
In $CC$, però $-1=i^2$ è un quadrato e quanto detto prima implica che $-1$ è non negativo; ne viene $-1=0$ ($0$ è l'unico elemento non negativo e non positivo in qualsiasi anello ordinato) ovvero $0=1$, il che è palesemente assurdo.

[dissonance]

Sono assiomi. Un campo $K$ con un relazione d'ordine totale $-<$ si dice ordinato se l'ordinamento è compatibile con somma e prodotto, nel senso che
$x- x+z- $x- zx- (Questa è una delle definizioni possibili, ce ne sono anche altre, ma la sostanza è questa, almeno credo).
Da questi due assiomi discendono le proprietà di ordinamento dei numeri razionali e reali a cui siamo abituati, come il fatto che $0-<1$, la regola dei segni, e di conseguenza il fatto che $0-

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