Complessi
Mi sono bloccata su questo esercizio sui complessi...
Fissato $ w in CC $ tale che |w|=1, disegnare nel piano di Gauss l'insieme dei numeri complessi z per cui:
Re(w*z) > |z|/2
Allora io l'ho svolto scrivendomi w e z in forma esponenziale, cioè z=p $ e^(idel z) $ e w=$ e^(idel w) $
quindi z*w= p $ e^(idel z + idel w) $ perciò la parte reale sarebbe p*cos$(del z + del w)$
alla fine mi rimane che il cos$(del z + del w)$ deve essere maggiore di 1/2, quindi negli intervalli tra 0 e π/6 e 11π/6 e 2π
dovrebbe essere giusto così...solo da qui come faccio a disegnarli?...
Grazie in anticipo : )
Fissato $ w in CC $ tale che |w|=1, disegnare nel piano di Gauss l'insieme dei numeri complessi z per cui:
Re(w*z) > |z|/2
Allora io l'ho svolto scrivendomi w e z in forma esponenziale, cioè z=p $ e^(idel z) $ e w=$ e^(idel w) $
quindi z*w= p $ e^(idel z + idel w) $ perciò la parte reale sarebbe p*cos$(del z + del w)$
alla fine mi rimane che il cos$(del z + del w)$ deve essere maggiore di 1/2, quindi negli intervalli tra 0 e π/6 e 11π/6 e 2π
dovrebbe essere giusto così...solo da qui come faccio a disegnarli?...
Grazie in anticipo : )
Risposte
Dunque, secondo me ti complichi la vita. Per prima cosa, essendo $w$ fissato, sai che il suo argomento è fissato: indichiamolo con $\theta$ e quindi $w=e^{i\theta}$. D'altra parte come dici $z=|z| e^{i\alpha}$ e quindi
[tex]$\mathrm{Re}(w\cdot z)=\mathrm{Re}(|z| e^{i(\alpha+\theta)})=|z|\cos(\alpha+\theta)>{|z|}/2$[/tex]
e quindi $\cos(\alpha+\theta)>1/2$, e cioè (restringendosi a $[-\pi,\pi]$) $-\pi/3<\alpha+\theta<\pi/3$ da cui (visto che $\theta$ è fissato) $\alpha\in(-\pi/3-\theta,\pi/3-\theta)$. In sostanza, quindi, i numeri complessi che ti servono sono quelli compresi tra le due semirette con origine nell'origine del sistema cartesiano, che formano con l'asse delle $x$ angoli pari, rispettivamente, a $-\pi/3-\theta,\ \pi/3-\theta$. Prova a fare il disegno supponendo $\theta=0$ (in modo da avere le due semirette che formano angoli di $\pm\pi/3$): allora, per $0<\theta<2\pi$ basterà ruotare (in senso orario) tale grafico di un angolo pari a $\theta$.
[tex]$\mathrm{Re}(w\cdot z)=\mathrm{Re}(|z| e^{i(\alpha+\theta)})=|z|\cos(\alpha+\theta)>{|z|}/2$[/tex]
e quindi $\cos(\alpha+\theta)>1/2$, e cioè (restringendosi a $[-\pi,\pi]$) $-\pi/3<\alpha+\theta<\pi/3$ da cui (visto che $\theta$ è fissato) $\alpha\in(-\pi/3-\theta,\pi/3-\theta)$. In sostanza, quindi, i numeri complessi che ti servono sono quelli compresi tra le due semirette con origine nell'origine del sistema cartesiano, che formano con l'asse delle $x$ angoli pari, rispettivamente, a $-\pi/3-\theta,\ \pi/3-\theta$. Prova a fare il disegno supponendo $\theta=0$ (in modo da avere le due semirette che formano angoli di $\pm\pi/3$): allora, per $0<\theta<2\pi$ basterà ruotare (in senso orario) tale grafico di un angolo pari a $\theta$.
Capito, ora ho fatto! Grazie mille davvero ; )
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