Complessi
quando mi propongono ad esempio $(\bar{z}-2iz-2)(iz^6-2z^3+8i)=0$ come procedo per risolvere?
Risposte
E' un prodotto uguale a zero: legge di annullamento del prodotto. Una delle due cose tra parentesi deve essere uguale a zero.
e quindi come procedo? devo trovare le 6 radici o sbaglio?
Devi risolvere le due equazioni:
$\bar{z}-2iz-2=0,\qquad iz^6-2z^3+8i=0$
Per la prima, scrivi $z=x+iy$ e sostituisci. Per la seconda, puoi porre $w=z^3$, risolvere l'equazione di secondo grado rispetto a $w$ e poi trovare le radici cubiche delle due soluzioni $w_1,\ w_2$ per determinare i sei valori di $z$.
$\bar{z}-2iz-2=0,\qquad iz^6-2z^3+8i=0$
Per la prima, scrivi $z=x+iy$ e sostituisci. Per la seconda, puoi porre $w=z^3$, risolvere l'equazione di secondo grado rispetto a $w$ e poi trovare le radici cubiche delle due soluzioni $w_1,\ w_2$ per determinare i sei valori di $z$.
poi provo a farlo e faccio sapere i risultati
"ciampax":
Devi risolvere le due equazioni:
$\bar{z}-2iz-2=0,\qquad iz^6-2z^3+8i=0$
Per la prima, scrivi $z=x+iy$ e sostituisci. Per la seconda, puoi porre $w=z^3$, risolvere l'equazione di secondo grado rispetto a $w$ e poi trovare le radici cubiche delle due soluzioni $w_1,\ w_2$ per determinare i sei valori di $z$.
per la prima ho fatto la sostituzione e trovo $x+2y-2-i(y+2x)0=$ come finisco?
per la seconda ho messo $w=z^3$ e poi ho trovato che $W_1,_2=(2+sqrt(4+32))/(2i)$...come è possibile? di solito nelle equazioni di secondo grado complesse dovrei trovare le due radici del discriminante ma qui come faccio? vedo il 36 come numero complesso?
Hai ottenuto $ x+2y-2 -i( y+2x)=0 $
Se il numero complesso a primo membro deve valere $0 $ bisogna che sia la sua parte reale che la sua parte immaginaria valgano $0 $.
Questo porta al sistema
$ x+2y-2=0$
$y+2x=0 $
da risolvere...
Se il numero complesso a primo membro deve valere $0 $ bisogna che sia la sua parte reale che la sua parte immaginaria valgano $0 $.
Questo porta al sistema
$ x+2y-2=0$
$y+2x=0 $
da risolvere...
Per il primo procedi come dice Camillo.
Per il secondo hai trovato che le soluzioni sono $w_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2i}$ e quindi $w_1=2i,\ w_2=-4i$. Adesso devi risolvere le equazioni $z^3=2i,\ z^3=-4i$.
Per il secondo hai trovato che le soluzioni sono $w_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2i}$ e quindi $w_1=2i,\ w_2=-4i$. Adesso devi risolvere le equazioni $z^3=2i,\ z^3=-4i$.
Per l'altra equazione di secondo grado in $ w$ usa la solita formula $w= (2+-sqrt(36))/(2i) $ o meglio la ridotta $w= (1+-sqrt(9))/i = -4i ; 2i $ .
Arrivato dopo... di 1m 35 sec 
$(z-i)^3=2e^(i*2/3Pi)$
le mie soluzioni sono
$zo=root(3)(2) (cos (1/3)Pi+i sen 1/3pi)-i$
$z1=root(3)(2) (cos (4/3)Pi+ i sen 4/3 pi)-i$
$z2=root(3)(2) (cos (7/3)Pi + i sen 7/3pi)-i$
secondo voi sono giuste?
le mie soluzioni sono
$zo=root(3)(2) (cos (1/3)Pi+i sen 1/3pi)-i$
$z1=root(3)(2) (cos (4/3)Pi+ i sen 4/3 pi)-i$
$z2=root(3)(2) (cos (7/3)Pi + i sen 7/3pi)-i$
secondo voi sono giuste?
Quella che hai scritto è l'equazione? Allora c'è qualcosa che non torna con gli angoli... dovrebbero essere divisi per $9$, non ti pare?
io ho portato l'esponenziale in forma trigonometrica e mi viene $z=root(3)(2(cos (2/3)Pi+i sen 2/3pi))-i$ poi ho trovato le 3 radici di z ovvero
$zo=root(3)(2) (cos ((2/3*Pi)/3)+i sen ((2/3*Pi)/3))-i$ e quindi $zo=root(3)(2) (cos (2/9*Pi)+i sen (2/9*Pi))-i$
$z1=root(3)(2) (cos ((2/3*Pi+2Pi)/3)+ i sen((2/3*Pi+2Pi)/3))-i$ e quindi $z1=root(3)(2) (cos (8/9*Pi)+ i sen(8/9*Pi))-i$
$z2=root(3)(2) (cos ((2/3*Pi+4Pi)/3) + i sen ((2/3*Pi+4Pi)/3))-i$ e quindi $z2=root(3)(2) (cos (14/9*Pi) + i sen (14/9*Pi))-i$
ora dovrebbero essere giuste vero? avevo sbagliato a fare una stupida moltiplicazione
poi porto le 3 radici in forma algebrica e sottraggo il $-i$ e trovo le 3 radici effettive che cercavo esatto?
$zo=root(3)(2) (cos ((2/3*Pi)/3)+i sen ((2/3*Pi)/3))-i$ e quindi $zo=root(3)(2) (cos (2/9*Pi)+i sen (2/9*Pi))-i$
$z1=root(3)(2) (cos ((2/3*Pi+2Pi)/3)+ i sen((2/3*Pi+2Pi)/3))-i$ e quindi $z1=root(3)(2) (cos (8/9*Pi)+ i sen(8/9*Pi))-i$
$z2=root(3)(2) (cos ((2/3*Pi+4Pi)/3) + i sen ((2/3*Pi+4Pi)/3))-i$ e quindi $z2=root(3)(2) (cos (14/9*Pi) + i sen (14/9*Pi))-i$
ora dovrebbero essere giuste vero? avevo sbagliato a fare una stupida moltiplicazione
poi porto le 3 radici in forma algebrica e sottraggo il $-i$ e trovo le 3 radici effettive che cercavo esatto?
zavo, prima hai scritto una cosa, ora ne scrivi un'altra. Deciditi. (la seconda scrittura va bene... però alla fine ci deve essere $+i$ non $-i$).
nella seconda scrittura che ho scritto ho messo scritto che avevo fatto un errore di moltiplicazione.Hai ragione altro errore di distrazione.
edit: come mai il sito Wolfram Alpha di cui io mi fido abbastanza mi dice che 0,78i+i=0,79i ?? non dovrebbe essere 1,78i?
lo avete mai usato questo sito?
edit: come mai il sito Wolfram Alpha di cui io mi fido abbastanza mi dice che 0,78i+i=0,79i ?? non dovrebbe essere 1,78i?
lo avete mai usato questo sito?
Mai. Possibile che hai scritto male. Comunque ora le soluzioni (quelle del secondo post) sono corrette. Calcolare i valori di quei seni e coseni esplicitamente, però, potrebbe essere un po' complesso. Io direi che puoi lasciare le soluzioni anche espresse in quella forma.
beh le ho portate in forma algebrica e poi disegnate sul grafico visto che mi vhiedeva di rappresentare le soluzioni trovate. Comunque credo di non essere rincitrullito molto mi confermate che 0,78i+i=1,78i? a quest'ora mi stanno venendo seri dubbi
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