[Complessa] Olomorfismo
Salve ragazzi.
Sia $f(z)$ olomorfa in $D$ sottoinsieme di $\mathbb{C}$.
Dire se e dove la funzione $h(z) = |f(z)|$ è olomorfa.
Non so bene come procedere. Intanto posso scriverla come:
$h(z) = sqrt( f(z) * \bar(f(z)))$
Mentre scrivevo il post per facilitarmi l'apprendimento ho provato a studiarmi prima un caso più semplice:
$g(z) = \bar(f(z))$
con $f(z)$ sempre analitica in $D$.
In questo caso possiamo far vedere che il limite del rapporto incrementale è diverso a seconda dell'incremento scelto. Infatti :
$(\bar(f(z + k)) - \bar(f(z)))/(k) = \bar(f(z + k) - f(z))/(\bar(k))*\bar(k) /k = \bar([(f(z + k) - f(z))/k]) *\bar(k) /k$
prendendo l'incremento $h$ tutto nell'asse reale, abbiamo come limite $\bar(f'(z))$,
mentre prendendo l'incremento tutto nell'asse immaginario abbiamo come limite $-\bar(f'(z))$
due domande:
1)Adesso mi servirebbe dimostrare che la composizione/prodotto di funzioni olomorfe con non olomorfe risulta non olomorfa. Come si dimostra (ammesso sia vera) questa affermazione?
2)Qual'è un altro modo per risolvere l'esercizio? Ad esempio a lezione ci hanno dimostrato come l'olomorfismo sia equivalente alla richiesta $(partial h)/(partial \bar(z)) = 0$. Come si applica in questo caso?
Il mio tentativo:
$(partial h)/(partial \bar(z)) = (partial sqrt(...))/(partial \bar(z)) * ( 0 + f(z) * (partial \bar(f(z)))/(partial \bar(z)) )$
ma la funzione radice che moltiplica è olomorfa, dunque la sua derivata rispetto a $\bar(z)$ è nulla (??). Quindi il prodotto dovrebbe essere nullo. Tuttavia ciò non mi convince, perchè la radice ce lho calcolata rispetto al prodotto $f(z)*\bar(f(z))$...
Non riesco ad applicare questo metodo. Qual'è il modo corretto di ragionare?
Sia $f(z)$ olomorfa in $D$ sottoinsieme di $\mathbb{C}$.
Dire se e dove la funzione $h(z) = |f(z)|$ è olomorfa.
Non so bene come procedere. Intanto posso scriverla come:
$h(z) = sqrt( f(z) * \bar(f(z)))$
Mentre scrivevo il post per facilitarmi l'apprendimento ho provato a studiarmi prima un caso più semplice:
$g(z) = \bar(f(z))$
con $f(z)$ sempre analitica in $D$.
In questo caso possiamo far vedere che il limite del rapporto incrementale è diverso a seconda dell'incremento scelto. Infatti :
$(\bar(f(z + k)) - \bar(f(z)))/(k) = \bar(f(z + k) - f(z))/(\bar(k))*\bar(k) /k = \bar([(f(z + k) - f(z))/k]) *\bar(k) /k$
prendendo l'incremento $h$ tutto nell'asse reale, abbiamo come limite $\bar(f'(z))$,
mentre prendendo l'incremento tutto nell'asse immaginario abbiamo come limite $-\bar(f'(z))$
due domande:
1)Adesso mi servirebbe dimostrare che la composizione/prodotto di funzioni olomorfe con non olomorfe risulta non olomorfa. Come si dimostra (ammesso sia vera) questa affermazione?
2)Qual'è un altro modo per risolvere l'esercizio? Ad esempio a lezione ci hanno dimostrato come l'olomorfismo sia equivalente alla richiesta $(partial h)/(partial \bar(z)) = 0$. Come si applica in questo caso?
Il mio tentativo:
$(partial h)/(partial \bar(z)) = (partial sqrt(...))/(partial \bar(z)) * ( 0 + f(z) * (partial \bar(f(z)))/(partial \bar(z)) )$
ma la funzione radice che moltiplica è olomorfa, dunque la sua derivata rispetto a $\bar(z)$ è nulla (??). Quindi il prodotto dovrebbe essere nullo. Tuttavia ciò non mi convince, perchè la radice ce lho calcolata rispetto al prodotto $f(z)*\bar(f(z))$...
Non riesco ad applicare questo metodo. Qual'è il modo corretto di ragionare?
Risposte
$h(z) = | f(z) |$
$f = u + i v$ , $u, v : D subset RR^2 -> RR$.
$h(z) = (f(z) overline(f(z)) )^(1/2)$ è una funzione reale
$partial_(bar(z)) h(z) = partial_(bar(z)) (f(z) overline(f(z)) )^(1/2) = 1/2 * partial_(bar(z)) (f(z) * overline(f(z)) )* 1/(f(z) overline(f(z)) )^(1/2) = 1/2 * (partial_(bar(z)) f(z) * overline(f(z)) + f(z) partial_(bar(z)) overline(f(z)))/(f(z) overline(f(z)) )^(1/2) =$
$ = 1/2 * (f(z) overline ( partial_(z) f(z) ))/(f(z) overline(f(z)) )^(1/2) $
perché per ipotesi $f$ è olomorfa e quindi $partial_(bar(z)) f = 0$ e vale la regola $partial_(bar(z)) overline(f(z)) = overline( partial_z f(z) )$.
$f = u + i v$ , $u, v : D subset RR^2 -> RR$.
$h(z) = (f(z) overline(f(z)) )^(1/2)$ è una funzione reale
$partial_(bar(z)) h(z) = partial_(bar(z)) (f(z) overline(f(z)) )^(1/2) = 1/2 * partial_(bar(z)) (f(z) * overline(f(z)) )* 1/(f(z) overline(f(z)) )^(1/2) = 1/2 * (partial_(bar(z)) f(z) * overline(f(z)) + f(z) partial_(bar(z)) overline(f(z)))/(f(z) overline(f(z)) )^(1/2) =$
$ = 1/2 * (f(z) overline ( partial_(z) f(z) ))/(f(z) overline(f(z)) )^(1/2) $
perché per ipotesi $f$ è olomorfa e quindi $partial_(bar(z)) f = 0$ e vale la regola $partial_(bar(z)) overline(f(z)) = overline( partial_z f(z) )$.
Grazie mille per la risposta!!
Purtroppo nelle soluzioni c'è scritto un chiaro e tondo "no" (alla domanda se la funzione fosse olomorfa) senza ulteriori spiegazioni.
EDIT: ho letto prima che editassi! Quindi è diversa da zero perchè c'è a moltiplicare la stessa f! Mi rifaccio i calcoli per vedere se mi viene a me!
Purtroppo nelle soluzioni c'è scritto un chiaro e tondo "no" (alla domanda se la funzione fosse olomorfa) senza ulteriori spiegazioni.
EDIT: ho letto prima che editassi! Quindi è diversa da zero perchè c'è a moltiplicare la stessa f! Mi rifaccio i calcoli per vedere se mi viene a me!
Quindi direi (dimmi se ti sembra corretto) che $h$ è derivabile in senso complesso nei punti $z in D$ tali che $f'(z) = 0$ eccettuati quelli per cui $f(z) = 0$.
Capito! Perchè l'espressione si può annullare tutte le volte che $\bar(f'(z))$ è nullo, ma ciò equivale a richiedere che si annulli $f'(z)$.
Dimmi se pensi che questo sia ragionevole: i punti per cui $f'(z) = 0$ descrivono punti o al massimo curve nel piano complesso. Non sono dunque domini. Questo spiegherebbe il "no" secco che si legge nella soluzione.
Adesso vedo di dimostrarmi da solo l'identità che mi ha detto e svolgo lo stesso esercizio per la funzione $g(z) = \bar(f(\bar(z)))$.
Dimmi se pensi che questo sia ragionevole: i punti per cui $f'(z) = 0$ descrivono punti o al massimo curve nel piano complesso. Non sono dunque domini. Questo spiegherebbe il "no" secco che si legge nella soluzione.
Adesso vedo di dimostrarmi da solo l'identità che mi ha detto e svolgo lo stesso esercizio per la funzione $g(z) = \bar(f(\bar(z)))$.
Sinceramente dedurre che non sia olomorfa senza ulteriori specificazioni mi sembra un po' strano. Per esempio $f(z) = 0$ è una funzione olomorfa su tutto $CC$ e $h(z) = |0| = 0$ idem.
Supponendo quindi che $f$ non sia costante, direi che suona bene ciò che hai scritto tu. Per formalizzarlo forse potresti ricorrere al seguente teorema:
Supponendo quindi che $f$ non sia costante, direi che suona bene ciò che hai scritto tu. Per formalizzarlo forse potresti ricorrere al seguente teorema:
Teorema: Se $f(z)$ è una funzione olomorfa nei punti di una regione $D$ interna ad uno o più circuiti e si annulla in infiniti punti distinti aventi almeno un punto di accumulazione $alpha in D$, allora $f$ è ovunque nulla.
In generale è vero quanto segue:
Ciò segue dalle condizioni di Cauchy-Riemann in modo banalissimo: infatti se \(h(z)=u(z)+\imath\ v(z)\), se \(h(\Omega )\subseteq \mathbb{R}\) si ha \(v(z)=0\) in \(\Omega\); ma allora per le C-R è \(\nabla u(z)=0\) in \(\Omega\), sicché \(u\) è costante in \(\Omega\) ed, a fortiori, \(h\) è costante in \(\Omega\).
Lo stesso, ma con i ruoli di \(u\) e \(v\) invertiti, vale se \(h(\Omega )\subseteq \imath\ \mathbb{R}\).
Quindi, dato che nel tuo caso \(h\) prende solo valori reali, essa può essere olomorfa in \(\Omega\) se e solo se essa è costante. Ciò equivale a dire che \(f\) ha modulo costante e questo fatto implica che \(f\) sia costante, perché vale il seguente teorema (in quanto segue identifichiamo con abuso i sottoinsiemi di \(\mathbb{C}\) coi corrispondenti sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\)):
La dimostrazione di questo fatto si fa usando Cauchy-Riemann ed il teorema di Rouché-Capelli per i sistemi lineari omogenei.
Quindi, tirando le somme: se il tuo insieme \(D\) è un aperto non vuoto connesso, allora \(h\) è olomorfa in \(D\) se e solo se \(f\) è costante.
Sia \(\Omega \subseteq \mathbb{C}\) un aperto non vuoto connesso. Un'applicazione \(h:\Omega \to \mathbb{C}\) olomorfa che assuma solo valori reali o solo valori immaginari puri è costante.
Ciò segue dalle condizioni di Cauchy-Riemann in modo banalissimo: infatti se \(h(z)=u(z)+\imath\ v(z)\), se \(h(\Omega )\subseteq \mathbb{R}\) si ha \(v(z)=0\) in \(\Omega\); ma allora per le C-R è \(\nabla u(z)=0\) in \(\Omega\), sicché \(u\) è costante in \(\Omega\) ed, a fortiori, \(h\) è costante in \(\Omega\).
Lo stesso, ma con i ruoli di \(u\) e \(v\) invertiti, vale se \(h(\Omega )\subseteq \imath\ \mathbb{R}\).
Quindi, dato che nel tuo caso \(h\) prende solo valori reali, essa può essere olomorfa in \(\Omega\) se e solo se essa è costante. Ciò equivale a dire che \(f\) ha modulo costante e questo fatto implica che \(f\) sia costante, perché vale il seguente teorema (in quanto segue identifichiamo con abuso i sottoinsiemi di \(\mathbb{C}\) coi corrispondenti sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\)):
Siano \(\Omega\subseteq \mathbb{C}\) un aperto non vuoto connesso e \(\Phi \in C^1(\Omega; \mathbb{R})\) con jacobiano \(J(\Phi)\neq 0\) in \(\Omega\).
Una funzione \(f:\Omega \to \mathbb{C}\) olomorfa e tale che \(\Phi (\operatorname{Re} f(z), \operatorname{Im} f(z))=\text{cost.}\) è costante in \(\Omega\).
La dimostrazione di questo fatto si fa usando Cauchy-Riemann ed il teorema di Rouché-Capelli per i sistemi lineari omogenei.
Quindi, tirando le somme: se il tuo insieme \(D\) è un aperto non vuoto connesso, allora \(h\) è olomorfa in \(D\) se e solo se \(f\) è costante.
@Gugo: che ne pensi di ciò che ho scritto io?
Grazie mille per le risposte ragazzi! Oggi ho chiesto anche al professore e mi ha dato la versione di gugo!
Io però volevo capire meglio come ragionare quando derivo. In soldoni mi sono reso conto che il mio dubbio principale è questo:
ho una funzione $f$ olomorfa in un dominio $D$. Adesso definisco una $n(z) = f(\bar(z))$. Come faccio la derivata $(partial n)/(partial \bar(z))$ ?
Non capisco se il termine $\bar z $ è da intendersi come un "calcolata in $\bar(z)$", oppure come un'altra funzione di z...
Io però volevo capire meglio come ragionare quando derivo. In soldoni mi sono reso conto che il mio dubbio principale è questo:
ho una funzione $f$ olomorfa in un dominio $D$. Adesso definisco una $n(z) = f(\bar(z))$. Come faccio la derivata $(partial n)/(partial \bar(z))$ ?
Non capisco se il termine $\bar z $ è da intendersi come un "calcolata in $\bar(z)$", oppure come un'altra funzione di z...
Ti posso dire questo: in fin dei conti, puoi pensare a $bar(z)$ come una variabile indipendente (al pari di $z$) e considerarla come se non avesse alcun legame con $z$.
E' un trucco per non sudare sui calcoli quando vai a scrivere la tua $f$ in termini di $x$ e $y$, ove $z = x + i y$, per poi usare la definizione di $partial/(partial \bar(z))$ in termini delle derivate parziali rispetto a $x$ e ad $y$. Quindi tagli la testa al toro e derivi rispetto a $bar(z)$.
Questo modo di procedere, all'atto pratico funziona; epperò sui testi di Teoria delle Funzioni non ho trovato una giustificazione (penso la spiegazione di questo sia più tecnica che sostanziale).
E' un trucco per non sudare sui calcoli quando vai a scrivere la tua $f$ in termini di $x$ e $y$, ove $z = x + i y$, per poi usare la definizione di $partial/(partial \bar(z))$ in termini delle derivate parziali rispetto a $x$ e ad $y$. Quindi tagli la testa al toro e derivi rispetto a $bar(z)$.
Questo modo di procedere, all'atto pratico funziona; epperò sui testi di Teoria delle Funzioni non ho trovato una giustificazione (penso la spiegazione di questo sia più tecnica che sostanziale).
@Seneca: Il ragionamento mi pare corretto: hai dimostrato che se \(f\) non è costante allora \(\partial_{\overline{z}} h(z)\neq 0\), dunque \(h\) non è olomorfa.
@_Matteo_C: Per quel che riguarda la risposta che hai trovato sugli esercizi, è evidente che il "NO chiaro e tondo" non è una risposta completa (perché non tiene conto della possibilità che \(h\) sia costante).
Per quel che riguarda gli operatori \(\partial_z,\ \partial_{\overline{z}}\) se n'è discusso recentemente qui.
P.S.: Ho sempre detto olomorfia... "Olomorfismo" non l'ho mai sentito.
@_Matteo_C: Per quel che riguarda la risposta che hai trovato sugli esercizi, è evidente che il "NO chiaro e tondo" non è una risposta completa (perché non tiene conto della possibilità che \(h\) sia costante).
Per quel che riguarda gli operatori \(\partial_z,\ \partial_{\overline{z}}\) se n'è discusso recentemente qui.
P.S.: Ho sempre detto olomorfia... "Olomorfismo" non l'ho mai sentito.
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