Compito di Analisi

[keplero1]

Approfittando della vostra gentilezza vorrei ancora qualche consiglio... Non me ne vogliate male, ma sono in mezzo agli esami e fra quattro giorni mi tocca sostenere l'orale di Analisi; vorrei vedere che errori ho fatto in maniere da non essere impreparato ad eventuali domande sul compito!

Dunque, questi sono tre esercizi presi dal mio compito di Analisi, in più c'era la serie che già mi è stata postata gentilmente da karl, e qualche altro esercizio che ho controllato da me a casa.

1.
Dare le seguenti definizioni:

a)

b) f decrescente in

c)

Ecco come ho risposto:

a)

b)

c)

2.

a) insieme di definizione

b) monotonia ed eventuali estremi relativi

3.

a) determinare l'insieme delle primitive

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Siate clementi con le bastonate, mi raccomando! Ho postato il mio svolgimento del primo esercizio (indecoroso vero?) perchè ho bisogno di sapere quanto ho fatto schifo... Per gli altri due dovrei poter autovalutarmi seguendo il vostro svolgimento.

Al solito, ringrazio davvero di cuore chiunque mi aiuterà!

p.s. Le immagini spero si vedano... Non funzionava il sito comune e così le ho dovute postare su di un altro mio!

[goblyn]

Svolgo il terzo:

Sostituzione:

t=log(x)
x=e^t
dx=e^t dt

L'integrale diventa:

1 / [4t^2 + 3t - 1] dt =

= 1/ [(4t-1)(t+1)] dt =

= [(4/5)/(4t-1)-(1/5)/(t+1)] dt =

= (1/5)log(4t-1) - (1/5)log(t+1) + C =

= (1/5)log(4e^x - 1) - (1/5)log(e^x + 1) + C

[goblyn]

1)

a) Per ogni epsilon positivo esiste un numero reale delta funzione di epsilon tale che

|f(x)-2|
che è quello che hai scritto tu

[keplero1]

Che bello! Allora ho sbagliato solo l'integrale, però il procedimento è giusto, mi sono solo imbrogliato a fare i conti alla fine... Se la prenderanno? Grazie goblyn!

[goblyn]

Nel punto b manca una cosa fondamentale: x1

Cita

Segnala

[keplero1]

Il solito errore di distrazione del cacchio! Non me ne sono proprio accorto E che mi dici invece del c) e della monotonìa?

[goblyn]

f(x) = x-|log(x^2-1)|

DOMINIO

x^2-1>0

x<-1 vel x>1

MONOTONIA

Intanto distinguiamo i due casi:

log(x^2-1)>0
x^2-1>1
x^2>2
x<-sqrt(2) vel x>sqrt(2)

Quindi

f(x) =

= x - log(x^2-1) x<-sqrt(2) vel x>sqrt(2)
= x + log(x^2-1) -sqrt(2) = x x=+-sqrt(2)

La derivata sarà allora:

f'(x) = 1 - 2x/(x^2-1) x<-sqrt(2) vel x>sqrt(2)
f'(x) = 1 + 2x/(x^2-1) -sqrt(2)
Cominciamo col primo caso:

f'(x)>0
(x^2-2x-1)/(x^2-1)>0
x<-1 vel 1-sqrt(2)1+sqrt(2)
che va intersecata con x<-sqrt(2) vel x>sqrt(2) e dà:

x<-sqrt(2) vel x>1+sqrt(2)

Quindi, per quanto riguarda il primo caso, f

è crescente se x<-sqrt(2) vel x>1+sqrt(2)
è decrescente se sqrt(2)
Passiamo al secondo caso:

f'(x)>0
(x^2+2x-1)/(x^2-1)>0
x<-1-sqrt(2) vel -11
che va intersecata con -sqrt(2)
f è crescente se 1 f è decrescente se -sqrt(2)
Unendo le due soluzione otteniamo:

f è decrescente se -sqrt(2) f è crescente se x<-sqrt(2) vel 11+sqrt(2)