COMPITO ANALISI II
COME SI SVOLGONO QUESTI ESERCIZI?
1) f(x,y) [e^xy(1+x^2+y]-2xy(1+x^2+y)
calcolare se esistono gli estremi relativi.
2) determinare l' insieme di esistenza della forma differenziale, dire se in questo insieme w è esatta e in caso affermativo trovarne una primitiva che nell' origine valga -5:
w= [y^2/(1+x^2y^4)]dx+[2xy/(1+x^2y^4)]dy+[sqr(1-2z)]dz.
3) risolvere il problema di cauchy:
y'''-y=-4e^x
y(0)=0 y'(0)=1 y''(0)=-1.
4) trovare l' intervallo di convergenza della serie:
per n che va da 1 a + infinito [(log(x+1))^n]/(n^3)(5^n).
spero che qualcuno ci dedichi un po di tempo, grazie.
1) f(x,y) [e^xy(1+x^2+y]-2xy(1+x^2+y)
calcolare se esistono gli estremi relativi.
2) determinare l' insieme di esistenza della forma differenziale, dire se in questo insieme w è esatta e in caso affermativo trovarne una primitiva che nell' origine valga -5:
w= [y^2/(1+x^2y^4)]dx+[2xy/(1+x^2y^4)]dy+[sqr(1-2z)]dz.
3) risolvere il problema di cauchy:
y'''-y=-4e^x
y(0)=0 y'(0)=1 y''(0)=-1.
4) trovare l' intervallo di convergenza della serie:
per n che va da 1 a + infinito [(log(x+1))^n]/(n^3)(5^n).
spero che qualcuno ci dedichi un po di tempo, grazie.
Risposte
L'esercizio (1) credo che sia il solito problema di massimi e minimi relativi.
ti consiglierei di sviluppare i prodotti e ricavarti le derv parz in x e y
a questo punto risolvi il sistema (spero per te che si semplifichi qualcosa!)
calcoli l'hessiano e ci butti dentro i punti ricavati.
credo che sia standard..proverò a farlo
nel (3) sei sicuro che sia y''' ?
in tal caso non saprei come operare..
Marvin
ti consiglierei di sviluppare i prodotti e ricavarti le derv parz in x e y
a questo punto risolvi il sistema (spero per te che si semplifichi qualcosa!)
calcoli l'hessiano e ci butti dentro i punti ricavati.
credo che sia standard..proverò a farlo
nel (3) sei sicuro che sia y''' ?
in tal caso non saprei come operare..
Marvin
Se è y''' come sta scritto, vorrà dire che l'equazione caratteristica sarà di terzo grado :
k^3 -1 = 0
Camillo
k^3 -1 = 0
Camillo
ciao! qlc ha provato a risolvere leq. diff.??
y'''-y = -4e^x
y(0)=0
y'(0)=1
y''(0)=-1
i calcoli sono un po' lunghi....la sol del P. di cauchy a me viene:
y(x) = x*e^x - (3/2)*x^2*e^2
...ma ho qlc dubbio!! chi ci aiuta??
BooTzenN
y'''-y = -4e^x
y(0)=0
y'(0)=1
y''(0)=-1
i calcoli sono un po' lunghi....la sol del P. di cauchy a me viene:
y(x) = x*e^x - (3/2)*x^2*e^2
...ma ho qlc dubbio!! chi ci aiuta??
BooTzenN
Non appaiono nè sin nè cos ; strano perchè l'equazione caratteristica , di terzo grado ha una radice reale = 1 e poi una complessa coniugata [(-1/2)+- i(sqrt(3)/2].
Dovrebbero quindi apparire :
Ae^x +e^(-x/2)[Bcos(sqrt(3)x/2)+Csin(sqrt(3x/2)] e in più la soluzione particolare dell'equazione completa..
Bisogna però fare i conti .
Camillo
Dovrebbero quindi apparire :
Ae^x +e^(-x/2)[Bcos(sqrt(3)x/2)+Csin(sqrt(3x/2)] e in più la soluzione particolare dell'equazione completa..
Bisogna però fare i conti .
Camillo
anch'io avevo questo dubbio ma non riesco a far comparire la sol complessa coniugata, puoi spiegarmi....
BooTzenN
BooTzenN
La equazione caratteristica è : k^3 -1 = 0 che fattorizzi( Ruffini) così :
(k-1)(k^2+k+1) = 0 da cui le soluzioni :
k=1 reale semplice e dà origine a y= Ae^x
k=(-1/2)+-(sqrt(3)i/2 complessa coniugata che da origine al prodotto e^(-x/2)*( Bcos(sqrt(3)x/2)+Csin(sqrt(3)x/2)).
OK ?
Camillo
(k-1)(k^2+k+1) = 0 da cui le soluzioni :
k=1 reale semplice e dà origine a y= Ae^x
k=(-1/2)+-(sqrt(3)i/2 complessa coniugata che da origine al prodotto e^(-x/2)*( Bcos(sqrt(3)x/2)+Csin(sqrt(3)x/2)).
OK ?
Camillo
hai ragione camillo...è anche abbastanza semplice!!
ma non so perchè risolvevo K^3 -1=0 -> K=1 unica sol perdendo le complesse!!!
eq di 3 grado-> 3 sol. teorema fondamentale del calcolo!!!!!!
rifacendo i conti che sono un po' lunghi dovrebbe venire
ciao
BooTzenN
ma non so perchè risolvevo K^3 -1=0 -> K=1 unica sol perdendo le complesse!!!
eq di 3 grado-> 3 sol. teorema fondamentale del calcolo!!!!!!
rifacendo i conti che sono un po' lunghi dovrebbe venire
ciao
BooTzenN
Per quanto riguarda una soluzione particolare dell'equazione completa , deve essere del tipo : Dxe^x ; si trova abbastanza agevolemente che vale 
-4/3)xe^x .
La soluzione generale è quindi :
y = Ae^x +(e^(-x/2))(B cos(sqrt(3)x/2)+C sin(sqrt(3)x/2))-(4/3)xe^x.
Quanto alla risoluzione del problema di Cauchy, difficoltà non ce ne sono; tre incognite : A,B,C , tre condizioni ; si tratta solo di calcoli.
Camillo
-4/3)xe^x .La soluzione generale è quindi :
y = Ae^x +(e^(-x/2))(B cos(sqrt(3)x/2)+C sin(sqrt(3)x/2))-(4/3)xe^x.
Quanto alla risoluzione del problema di Cauchy, difficoltà non ce ne sono; tre incognite : A,B,C , tre condizioni ; si tratta solo di calcoli.
Camillo
N.2 -
Per semplicità riscrivo così la forma differenziale :
w = Xdx+Ydy+Zdz
Il campo di esistenza è dato da : 1-2z >=0 , da cui : z <=1/2.
Per controllare se la forma differenziale è esatta si deve vedere se le derivate parziali "incrociate" sono eguali cioè se :
*dX/dy = dY/dx e questo è vero perchè entrambe le derivate parziali valgono : (2y-2x^2*y^5)/(1+x^2y^4)^2
* dX/dz =dZ/dx e questo pure è vero perchè entrambe valgono 0.
* dY/dz = dZ/dy pure vero perchè entrambe valgono 0.
Dunque la forma differenziale w è esatta nel dominio indicato.
Cerco adesso una primitiva e calcolo quindi:
int (y^2/(1+x^2*y^4)dx = int(y^2/(1+(y^2*x)^2)dx = arctg(x*y^2)+f(y)+g(z) essendo f(y) e g(z) due funzioni da determinare .
Derivo ora, rispetto ad y la funzione ottenuta e la eguaglio a Y ottenendo:
2xy/(1+x^2*y^4) +f'(y) = 2xy/(1+x^2*y^4); dunque f'(y) = 0 e quindi f(y) = costante che scelgo uguale a 0 per comodità.
Derivo ora la stessa funzione ottenuta prima rispetto a z e la eguaglio a Z (sqrt(1-2z)) ottenendo :
g'(z)=sqrt(1-2z) e integrando :
g(z) = -(1/3)*sqrt(1-2z)^(3/2).
Le primitive della forma differenziale saranno date da :
arctg(xy^2)-(1/3)(1-2z)^(3/2) +k salvo errori....
Basta adesso imporre che nel punto (0,0) valga -5 e si determina k.
Camillo
Per semplicità riscrivo così la forma differenziale :
w = Xdx+Ydy+Zdz
Il campo di esistenza è dato da : 1-2z >=0 , da cui : z <=1/2.
Per controllare se la forma differenziale è esatta si deve vedere se le derivate parziali "incrociate" sono eguali cioè se :
*dX/dy = dY/dx e questo è vero perchè entrambe le derivate parziali valgono : (2y-2x^2*y^5)/(1+x^2y^4)^2
* dX/dz =dZ/dx e questo pure è vero perchè entrambe valgono 0.
* dY/dz = dZ/dy pure vero perchè entrambe valgono 0.
Dunque la forma differenziale w è esatta nel dominio indicato.
Cerco adesso una primitiva e calcolo quindi:
int (y^2/(1+x^2*y^4)dx = int(y^2/(1+(y^2*x)^2)dx = arctg(x*y^2)+f(y)+g(z) essendo f(y) e g(z) due funzioni da determinare .
Derivo ora, rispetto ad y la funzione ottenuta e la eguaglio a Y ottenendo:
2xy/(1+x^2*y^4) +f'(y) = 2xy/(1+x^2*y^4); dunque f'(y) = 0 e quindi f(y) = costante che scelgo uguale a 0 per comodità.
Derivo ora la stessa funzione ottenuta prima rispetto a z e la eguaglio a Z (sqrt(1-2z)) ottenendo :
g'(z)=sqrt(1-2z) e integrando :
g(z) = -(1/3)*sqrt(1-2z)^(3/2).
Le primitive della forma differenziale saranno date da :
arctg(xy^2)-(1/3)(1-2z)^(3/2) +k salvo errori....
Basta adesso imporre che nel punto (0,0) valga -5 e si determina k.
Camillo
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