Compito analisi I

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17 feb 2009, 12:41

Salve.
Sono tornato dall'esame scritto di analisi 1.
Vi posto la traccia e il mio svolgimento. Gradirei sapere se ho qualche speranza.

$f(x) = x-sqrt(2x-1)$

1.Determinare il dominio di $f(x)$
2.Determinare $f^-1(3,+infty)$
3.Spiegare, utilizzando la definizione di limite, $lim_(x->+infty)f(x)=+infty$
4. Calcolare $f'_+(1/2)$

1) Questo era facile, $2x-1 >= 0=>x>=1/2 D = [1/2;+infty)$
2) Il senso era determinare quando $f(x) >= 3$, quindi ho fatto
$x-sqrt(2x-1)>3$
$-sqrt(2x-1)>3-x$
$sqrt(2x-1)<=x-3$

Condizioni per la disequazione
$2x-1>=0 $
$3-x > 0 $
$2x-1<=x^2-6x+9$

Unendo i risultati mi viene $f(x) > 3 => 3
3) Per la definizione ho scritto
$AA M > 0 EE I_M > 0 : AA x in I_M |f(x)| > M$
Aggiungendo poi sotto
"Dato che la disequazione è valida per un intorno infinito, il limite è verificato."

4)
Ho calcolato la derivata prima
$y' = 1 - 1/sqrt(2x-1)$
Che non esiste per $x = 1/2$
Ho "ricordato" questo aggiungendo che quindi $f'_+(1/2)$ equivaleva a calcolare $lim_(h->0+)(\Delta y)/(\Delta x)$ e che tale limite era $+infty$. In particolare ho aggiunto che il punto è di flesso a tangente verticale.

Determinare massimi e minimi di
$log|1-log(x)|$

Qui penso di averla fatta grossa nel calcolare la derivata. Ho scritto
$1/1-log(x) * -1/x$ non accorgendomi del valore assoluto.Ho paura che mi costerà l'esame.

Comunque per la cronaca,$0 text( ed ) e$ sono i valori che mi sono saltati fuori.

Calcolare
$lim_(x->0) (sen^x-3xarctag(3x))/(1-cos^2x)$
Con Taylor a me risulta 0. Fatemi sapere!

Calcolare $int(x^5/(sqrt(1-x^3)))$
Questo penso di averlo fatto bene:

$sqrt(1+x^3) = t; t^2 = 1+x^3; x^3 = t^2-1; x = root(3)(t^2-1); dx = 1/(3root(3)((t^2-1)^2 ))* 2t$
$int((root(3)(t^2-1))^5/(t) * -2t/(3root(3)((t^2-1)^2)))$

Con le dovute eliminazioni e trasformazioni alla fine mi viene

$2/3int((t^2-1)^5/3 * (t^2-1)^-2/3)$ cio è $2/3 int(t^2-1)$ di facile risoluzione $-2/3(t^3/3 - t)$ e poi ho risostituito.

Determinare il carattere della serie

$\sum_{k=0}^infty( (2^k-4^k)/(3^k-k!))^k$

Non ho saputo nemmeno iniziare tale esercizio. Ma che dovevo fare? Era geometrica?? Per me ad occhio converge...

Infine, calcolare nel campo complesso
$root(4)(1-2sqrt(3))$

Il risultato era $cos (pi/3) +isen (pi/3)$

Grazie a tutti!

Risposte

Vincent2

17 feb 2009, 17:34

Coraggio, nessuno mi guarda lo svolgimento?

lucagalbu

17 feb 2009, 17:55

Per quanto riguarda l'integrale, è giusto. Comunque se prima di effettuare la trasformazione lo vedi come $int\frac{x^2(x^3-1)}{sqrt(1-x^3)}$ ti eviti un bel po' di calcoli (e quindi di rischi di errori).
Per il limite anche a me viene 0
Per la serie io fare così (ma non sono sicuro):
usando il criterio della radice hai:
$root(n)(a_n)=\frac{2^n-4^n}{3^n-n!}\sim \frac{2^n-4^n}{n!}=\frac{o(n!)}{n!}\rightarrow0$
quindi converge

@melia

17 feb 2009, 18:47

"Vincent":

Determinare massimi e minimi di
$log|1-log(x)|$
Qui penso di averla fatta grossa nel calcolare la derivata. Ho scritto
$1/1-log(x) * -1/x$ non accorgendomi del valore assoluto.Ho paura che mi costerà l'esame.
Comunque per la cronaca,$0 text( ed ) e$ sono i valori che mi sono saltati fuori.

Qui spero che abbia scritto la derivata correttamente $1/(1-log(x)) *( -1/x)$ e per inciso $1/x$ è la derivata di $log|x|$
Il problema non è lì, ma nel fatto che tu non abbia calcolato il dominio della funzione e non ti sia accorto che tale dominio è $x>0^^x!=e$, per cui la funzione non è dotata di massimi e/o di minimi, ma solo di sup che è $+oo$ e di inf $-oo$