Compito analisi 1
Salve a tutti, vorrei proporvi una prova scritta di analisi 1 assegnatacci oggi, che io sinceramente non ho saputo fare:
1) Determinare tutti i valori dei parametri x,y appartenenti ]0, +∞[, per i quali la serie seguente converge:
$\sum_{n=1}^\infty log[1+n^(-1/3)(1-cos(n^-y))x^n]$
2) Data la funzione
$f(x) = sinh [sqrt(x^2-4x+3)-(2x-1)]$
determinare campo di esistenza X, segno, eventuali asintoti ed insieme immagine f(X)
3) Determinare tutti i numeri reali a appartenenti ]-2,+∞[ tali che:
$e^(\frac{1-a^2}{2})-a<=2$
4) Calcolare il seguente integrale:
$\int_{log2}^{9} cosh t sinh^-4 t arctg [sinh^-1 t] dt$
P.S. Spero si capiscano poichè è la prima volta che scrivo su un forum di matematica, grazie a chiunque ci proverà.
1) Determinare tutti i valori dei parametri x,y appartenenti ]0, +∞[, per i quali la serie seguente converge:
$\sum_{n=1}^\infty log[1+n^(-1/3)(1-cos(n^-y))x^n]$
2) Data la funzione
$f(x) = sinh [sqrt(x^2-4x+3)-(2x-1)]$
determinare campo di esistenza X, segno, eventuali asintoti ed insieme immagine f(X)
3) Determinare tutti i numeri reali a appartenenti ]-2,+∞[ tali che:
$e^(\frac{1-a^2}{2})-a<=2$
4) Calcolare il seguente integrale:
$\int_{log2}^{9} cosh t sinh^-4 t arctg [sinh^-1 t] dt$
P.S. Spero si capiscano poichè è la prima volta che scrivo su un forum di matematica, grazie a chiunque ci proverà.
Risposte
Ciao!
Abbiamo bisogno delle tue idee,che altrimenti ci manca la pezza d'appoggio per farle crescere:
è il principio ispiratore di questo Forum nel quale sei il benvenuto!
Il livello del compito sembra abbastanza buono,e dunque t'aspettiamo per cimentarci insieme:
come omaggio di ben arrivato,comunque,ti chiedo intanto di farci capire cosa accade nel primo esercizio se x>1..
Saluti dal web.
Abbiamo bisogno delle tue idee,che altrimenti ci manca la pezza d'appoggio per farle crescere:
è il principio ispiratore di questo Forum nel quale sei il benvenuto!
Il livello del compito sembra abbastanza buono,e dunque t'aspettiamo per cimentarci insieme:
come omaggio di ben arrivato,comunque,ti chiedo intanto di farci capire cosa accade nel primo esercizio se x>1..
Saluti dal web.
Mi scuso per non aver risposto subito, ma essendo l'università fuori sede ho problemi ad avere sempre la connessione.
Ringrazio theras per il benvenuto, e spiego un pò il mio livello di preparazione;
Per quanto riguarda le serie non so completamente da dove inziare, visto che quando il prof le ha spiegato non ho potuto seguire le lezioni; proprio per questo contavo di fare lo studio di funzione e l'integrale, in cui più o meno me la cavicchio, ma non mi aspettavo di ritrovarmi nel compito delle funzioni iperboliche poichè il professore non le aveva trattate completamente.
Ringrazio theras per il benvenuto, e spiego un pò il mio livello di preparazione;
Per quanto riguarda le serie non so completamente da dove inziare, visto che quando il prof le ha spiegato non ho potuto seguire le lezioni; proprio per questo contavo di fare lo studio di funzione e l'integrale, in cui più o meno me la cavicchio, ma non mi aspettavo di ritrovarmi nel compito delle funzioni iperboliche poichè il professore non le aveva trattate completamente.
Per quanto riguarda il secondo esercizio dalla definizione di seno iperbolico come somma (algebrica) di esponenziali deduci che il suo campo di esistenza è $\mathbb{R}$ e quindi per la tua funzione ti rimane da analizzare l'espressione sotto radice. Comincia da qui a vedere cosa ti esce.
Grazie max,
allora provo a svolgere lo studio della funzione:
il C.E. dato che del sinh è tutto R dovrebbe dipendere solo dal radicando, ed è: $x<=-1$ e $x>=-3$
Per quanto riguarda lo studio del segno passo dall'altro lato -(2x-1), quindi avrò due sistemi:
$\{(x^2 - 4x + 3>=0 ),(2x-1<0):}$ e $\{(x^2 - 4x + 3>=0 ),(2x-1>=0),(x^2 - 4x + 3>(2x-1)^2):}$
la soluzione del primo è $x<=-1$ e del secondo $x>3$
allora provo a svolgere lo studio della funzione:
il C.E. dato che del sinh è tutto R dovrebbe dipendere solo dal radicando, ed è: $x<=-1$ e $x>=-3$
Per quanto riguarda lo studio del segno passo dall'altro lato -(2x-1), quindi avrò due sistemi:
$\{(x^2 - 4x + 3>=0 ),(2x-1<0):}$ e $\{(x^2 - 4x + 3>=0 ),(2x-1>=0),(x^2 - 4x + 3>(2x-1)^2):}$
la soluzione del primo è $x<=-1$ e del secondo $x>3$
Devi aver sbagliato la disequazione nel calcolo del segno del radicando. Il risultato corretto è \( x \leq 1, \quad x \geq 3\).
Si hai ragione, ho sbagliato a scrivere completamente il radicando e di conseguenza tutto il resto...
Quindi il primo sistema avrà soluzione $x<1/2$ e il secondo $x>=3$
Quindi il primo sistema avrà soluzione $x<1/2$ e il secondo $x>=3$
Siccome $\sinh x \geq 0 \iff x \geq 0$ devi risolvere la disequazione $\sqrt{x^{2}-4x+3}-(2x-1) \geq 0$. Non capisco il sistema che hai impostato.
I due sistemi che ho impostato li ho fatti per risolvere $\sqrt{x^{2}-4x+3}-(2x-1) \geq 0$.
Ho utilizato questa formula che faccio sempre quando mi trovo davanti a qualche radicando:
$\sqrtA(x)>B(x)$ $rArr$ $\{(A(x)>=0 ),(B(x)<0):}$ e $\{(A(x)>=0 ),(B(x)>=0),(A(x)>B(x)^2):}$
Ho sbagliato?
Ho utilizato questa formula che faccio sempre quando mi trovo davanti a qualche radicando:
$\sqrtA(x)>B(x)$ $rArr$ $\{(A(x)>=0 ),(B(x)<0):}$ e $\{(A(x)>=0 ),(B(x)>=0),(A(x)>B(x)^2):}$
Ho sbagliato?
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