Compatto e insieme chiuso.
Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) un insieme compatto e \( F \subset \mathbb{R}^n \) un insieme chiuso, entrambi non vuoti, dimostra che esiste \( a \in E \) e \( b \in F \) tale che \( \begin{Vmatrix} a-b \end{Vmatrix} = \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} \)
Se \( E \cap F \neq \emptyset \) allora chiaramente \( \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} =0\) ed è sufficiente prendere \( a = b \in \mathbb{R}^n \) tale che \( a \in E \) e \( a \in F \).
Se \( E \cap F = \emptyset \) non ne ho idea e mi sto innervosendo non poco... la mia idea era di prendere una successione e all interno del compatto e non so... far vedere che convergesse a qualcosa di utile!
Se \( E \cap F \neq \emptyset \) allora chiaramente \( \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} =0\) ed è sufficiente prendere \( a = b \in \mathbb{R}^n \) tale che \( a \in E \) e \( a \in F \).
Se \( E \cap F = \emptyset \) non ne ho idea e mi sto innervosendo non poco... la mia idea era di prendere una successione e all interno del compatto e non so... far vedere che convergesse a qualcosa di utile!
Risposte
Ad esempio ho pensato questo:
Fissato un \( x \in E \) abbiamo che \( \forall y \in F^{\circ} \) dove \( F^{\circ} \) punti interiori di \( F \) abbiamo che \( \exists z \in \partial F \) dove \( \partial F \) i punti frontiera di \( F \) tale che \( \begin{Vmatrix} x- y \end{Vmatrix} \geq \begin{Vmatrix} x- z \end{Vmatrix} \) dunque abbiamo che
\( \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} = \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in \partial F \} \)
Per tutti gli \( y \in \partial F \) consideriamo ora la successione reale associata \( c_{k,y} = \begin{Vmatrix} x_k- y \end{Vmatrix} \) dove \( x_k \) è una successione all interno di \( E \) e che dunque converge ad un punto di accomulazione \( x \in E \). In questa famiglia di successioni reali esiste una \( c_{k,y} \) tale che \( c_{k,y} \rightarrow \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in \partial F \} \) quando \( k \rightarrow \infty \), abbiamo pertanto che \( a = \lim\limits_{k \to \infty} x_k \) e \( b := y \) tale che \( c_{k,b} \rightarrow \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in \partial F \} \)
Fissato un \( x \in E \) abbiamo che \( \forall y \in F^{\circ} \) dove \( F^{\circ} \) punti interiori di \( F \) abbiamo che \( \exists z \in \partial F \) dove \( \partial F \) i punti frontiera di \( F \) tale che \( \begin{Vmatrix} x- y \end{Vmatrix} \geq \begin{Vmatrix} x- z \end{Vmatrix} \) dunque abbiamo che
\( \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} = \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in \partial F \} \)
Per tutti gli \( y \in \partial F \) consideriamo ora la successione reale associata \( c_{k,y} = \begin{Vmatrix} x_k- y \end{Vmatrix} \) dove \( x_k \) è una successione all interno di \( E \) e che dunque converge ad un punto di accomulazione \( x \in E \). In questa famiglia di successioni reali esiste una \( c_{k,y} \) tale che \( c_{k,y} \rightarrow \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in \partial F \} \) quando \( k \rightarrow \infty \), abbiamo pertanto che \( a = \lim\limits_{k \to \infty} x_k \) e \( b := y \) tale che \( c_{k,b} \rightarrow \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in \partial F \} \)
Ciao!
Mi è piaciuto questo esercizio e ho provato ad abbozzare una dimostrazione, magari ti può essere utile, ma non sono certo della correttezza.
partiamo dal fatto che $d(E,F)= i n f_(x in E)d(x,F)$ e che per ogni $x in E$ la funzione $d_x:F->RR$ definita come $d_x(y)=d(x,y)$ è continua su un compatto e pertanto $d(x,F)$ è un minimo ossia $forall x in E exists y_x in F$ per cui $d(x,F)=d(x,y_x)$
quindi si ottiene $d(E,F)= i n f_(x in E)d(x,y_x)$
dalle proprietà di $i n f$ si ha che fissando $epsilon=1/n$ possiamo trovare una successione ${x_n}_(n in NN)subsetE$ per cui $d(E,F)-1/n
ora da un lato $y_(x_n)$ è un successione a valori in un compatto pertanto possiamo estrarre una sottosuccessione $y_(x_(n_k))->y in F$ e
l'ultima quantità a destra è limitata poiché $d(y_(x_(n_k)),y)$ è convergente
a questo punto segue che $x_(n_k)$ è interamente contenuta in qualche palletta aperta ed essendo in $RR^n$ le successioni limitate ammettono sottosuccessioni convergenti ed essendo $E$ chiuso il limite di tale successione converge in $E$
pertanto abbiamo che $p_j:=x_(n_(k_j))->x in E$ e $y_(x_(n_(k_j)))->y in F$
essendo $d_y:E->RR$ definita come $d_y(x)=d(y,x)$ continua in $E$ si ha che $p_j->x => d_y(p_j)->d_y(x)$
quindi $d(y,x)=d_y(x)=lim_(j->+infty)d(p_j,y)=d(E,F)$
E' un po' casinosa, ho provato a rileggerla e non mi sembrano esserci errori, però non si può mai sapere.
Mi è piaciuto questo esercizio e ho provato ad abbozzare una dimostrazione, magari ti può essere utile, ma non sono certo della correttezza.
partiamo dal fatto che $d(E,F)= i n f_(x in E)d(x,F)$ e che per ogni $x in E$ la funzione $d_x:F->RR$ definita come $d_x(y)=d(x,y)$ è continua su un compatto e pertanto $d(x,F)$ è un minimo ossia $forall x in E exists y_x in F$ per cui $d(x,F)=d(x,y_x)$
quindi si ottiene $d(E,F)= i n f_(x in E)d(x,y_x)$
dalle proprietà di $i n f$ si ha che fissando $epsilon=1/n$ possiamo trovare una successione ${x_n}_(n in NN)subsetE$ per cui $d(E,F)-1/n
ora da un lato $y_(x_n)$ è un successione a valori in un compatto pertanto possiamo estrarre una sottosuccessione $y_(x_(n_k))->y in F$ e
$d(x_(n_k),y)leqd(x_(n_k),y_(x_(n_k)))+d(y_(x_(n_k)),y)leqd(E,F)+d(y_(x_(n_k)),y)$
l'ultima quantità a destra è limitata poiché $d(y_(x_(n_k)),y)$ è convergente
a questo punto segue che $x_(n_k)$ è interamente contenuta in qualche palletta aperta ed essendo in $RR^n$ le successioni limitate ammettono sottosuccessioni convergenti ed essendo $E$ chiuso il limite di tale successione converge in $E$
pertanto abbiamo che $p_j:=x_(n_(k_j))->x in E$ e $y_(x_(n_(k_j)))->y in F$
essendo $d_y:E->RR$ definita come $d_y(x)=d(y,x)$ continua in $E$ si ha che $p_j->x => d_y(p_j)->d_y(x)$
quindi $d(y,x)=d_y(x)=lim_(j->+infty)d(p_j,y)=d(E,F)$
E' un po' casinosa, ho provato a rileggerla e non mi sembrano esserci errori, però non si può mai sapere.
Io farei così:
- 1. Si consideri una successione \((e_n, f_n)\in E\times F\) tale che \(d(e_n, f_n)\to d(E, F)\) (successione minimizzante, come si dice spesso).
2. Esiste una estratta di \(e_n\), che continuiamo a chiamare \(e_n\) con un classico abuso di notazione, ed esiste un punto \(e\in E\) tali che \(e_n\to e\).
3. Siccome \(d(e_n, f_n)\) è una successione convergente (di numeri reali), essa è limitata; ma anche \(e_n\) è limitata, e di conseguenza \(f_n\) è una successione limitata.
4. Essendo una successione limitata in un chiuso, \(f_n\) ha una estratta convergente ad un elemento \(f\in F\). Concludiamo che, sempre a meno di estratte, \(d(e_n, f_n)\to d(e, f)=d(E, F)\).
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@anto: credo che questa sia la tua stessa idea, ma davvero non sono riuscito a leggere il tuo post, troppo casino.
@peppe
Si è vero, a mente fresca mi sono reso conto che avrei potuto tagliare la parte sui minimi, che è la parte diversa rispetto alla tua.
Si è vero, a mente fresca mi sono reso conto che avrei potuto tagliare la parte sui minimi, che è la parte diversa rispetto alla tua.
Posso fare così?
Poniamo \( A : = \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} \), questo insieme è ben definito siccome \( E \) e \( F \) sono non vuoti. Inoltre in quanto \( A \) è limitato inferiormente da \( 0 \) esiste un infimum pertanto siamo sicuri dell'esistenza di \( \alpha : = \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} \) pertanto possiamo estrarre una successione \( (\alpha_k)_{k\geq0} \subseteq A \) tale che \( \alpha_k \rightarrow \alpha \) con \( k \rightarrow \infty \).
Per definizione di \( (\alpha_k)_{k\geq0} = \begin{Vmatrix} a_k-b_k \end{Vmatrix} \).
\( (a_k)_{k\geq 0} \subseteq E\), che è un compatto dunque limitato pertanto la successione ammette un estremo, dunque possiamo estrarre una sottosuccessione \( (a_{k_j})_{j\geq 0} \rightarrow a \in E \) quando \( j \rightarrow \infty \).
\( \begin{Vmatrix} b_{k_j} \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} b_{k_j} - a_{k_j} \end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} a_{k_j} \end{Vmatrix} \leq \alpha + a \) dunque pure la successione \( ( b_{k_j})_{j \geq 0} \) è limitata, pertanto possiamo estrarre una sottosuccessione che converge \( b_{k_{j_m}} \rightarrow b \in F \), quando \( m \rightarrow \infty \).
Pertanto \[ \alpha = \lim\limits_{m \to \infty} \alpha_{k_{j_m}} = \lim\limits_{m \to \infty}\begin{Vmatrix} a_{k_{j_m}}-b_{k_{j_m}}\end{Vmatrix} \] e per continuità di \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix} \) abbiamo
\[ \alpha =\begin{Vmatrix} \lim\limits_{m \to \infty} a_{k_{j_m}}- \lim\limits_{m \to \infty}b_{k_{j_m}}\end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix}a-b \end{Vmatrix} \]
Poniamo \( A : = \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} \), questo insieme è ben definito siccome \( E \) e \( F \) sono non vuoti. Inoltre in quanto \( A \) è limitato inferiormente da \( 0 \) esiste un infimum pertanto siamo sicuri dell'esistenza di \( \alpha : = \inf \{ \begin{Vmatrix} x-y \end{Vmatrix} \mid x \in E, y \in F \} \) pertanto possiamo estrarre una successione \( (\alpha_k)_{k\geq0} \subseteq A \) tale che \( \alpha_k \rightarrow \alpha \) con \( k \rightarrow \infty \).
Per definizione di \( (\alpha_k)_{k\geq0} = \begin{Vmatrix} a_k-b_k \end{Vmatrix} \).
\( (a_k)_{k\geq 0} \subseteq E\), che è un compatto dunque limitato pertanto la successione ammette un estremo, dunque possiamo estrarre una sottosuccessione \( (a_{k_j})_{j\geq 0} \rightarrow a \in E \) quando \( j \rightarrow \infty \).
\( \begin{Vmatrix} b_{k_j} \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} b_{k_j} - a_{k_j} \end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} a_{k_j} \end{Vmatrix} \leq \alpha + a \) dunque pure la successione \( ( b_{k_j})_{j \geq 0} \) è limitata, pertanto possiamo estrarre una sottosuccessione che converge \( b_{k_{j_m}} \rightarrow b \in F \), quando \( m \rightarrow \infty \).
Pertanto \[ \alpha = \lim\limits_{m \to \infty} \alpha_{k_{j_m}} = \lim\limits_{m \to \infty}\begin{Vmatrix} a_{k_{j_m}}-b_{k_{j_m}}\end{Vmatrix} \] e per continuità di \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix} \) abbiamo
\[ \alpha =\begin{Vmatrix} \lim\limits_{m \to \infty} a_{k_{j_m}}- \lim\limits_{m \to \infty}b_{k_{j_m}}\end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix}a-b \end{Vmatrix} \]
Certamente, è corretto.
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