Compatti aperti

stagna1
so che un insieme ($sube RR^n$) è compatto se e solo se è chiuso (e limitato).

non riesco a darmi un'interpretazione "intuitiva" (ma magari non esiste :) ) del perchè un aperto non possa essere compatto. $(-1,1)$ non è compatto perchè il ricoprimento aperto ${(-1+1/n,1-1/n)}$ non ha un sottoricoprimento finito. ma per $ nrarr oo $ quell'insieme non è proprio $(-1,1)$?

c'è una qualche relazione con i punti di frontiera che mi sfugge? del tipo che non li "tocca"?

grazie e scusate l'approssimazione.

Risposte
Rigel1
L'unione di quegli insiemi è \((-1,1)\), e infatti sono un ricoprimento aperto di quell'intervallo; d'altra parte, se ne prendi solo un numero finito, vedi subito che l'unione coincide con l'insieme \(I_n\) avente l'indice più grande, dunque non è tutto \((-1,1)\).

stagna1
ok!

ti chiedo l'ultimo passo che mi manca: cosa caspita cambia se $(-1,1)$ diventa $[-1,1]$? mi sembra che a maggior ragione non ottengo un ricoprimento finito.

grazie per l'aiuto.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
La famiglia di aperti che consideri non è nemmeno un ricoprimento di [tex][-1,1][/tex] ;)

stagna1
in effetti ...

:)

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