Compatti aperti
so che un insieme ($sube RR^n$) è compatto se e solo se è chiuso (e limitato).
non riesco a darmi un'interpretazione "intuitiva" (ma magari non esiste
) del perchè un aperto non possa essere compatto. $(-1,1)$ non è compatto perchè il ricoprimento aperto ${(-1+1/n,1-1/n)}$ non ha un sottoricoprimento finito. ma per $ nrarr oo $ quell'insieme non è proprio $(-1,1)$?
c'è una qualche relazione con i punti di frontiera che mi sfugge? del tipo che non li "tocca"?
grazie e scusate l'approssimazione.
non riesco a darmi un'interpretazione "intuitiva" (ma magari non esiste
) del perchè un aperto non possa essere compatto. $(-1,1)$ non è compatto perchè il ricoprimento aperto ${(-1+1/n,1-1/n)}$ non ha un sottoricoprimento finito. ma per $ nrarr oo $ quell'insieme non è proprio $(-1,1)$?c'è una qualche relazione con i punti di frontiera che mi sfugge? del tipo che non li "tocca"?
grazie e scusate l'approssimazione.
Risposte
L'unione di quegli insiemi è \((-1,1)\), e infatti sono un ricoprimento aperto di quell'intervallo; d'altra parte, se ne prendi solo un numero finito, vedi subito che l'unione coincide con l'insieme \(I_n\) avente l'indice più grande, dunque non è tutto \((-1,1)\).
ok!
ti chiedo l'ultimo passo che mi manca: cosa caspita cambia se $(-1,1)$ diventa $[-1,1]$? mi sembra che a maggior ragione non ottengo un ricoprimento finito.
grazie per l'aiuto.
ti chiedo l'ultimo passo che mi manca: cosa caspita cambia se $(-1,1)$ diventa $[-1,1]$? mi sembra che a maggior ragione non ottengo un ricoprimento finito.
grazie per l'aiuto.
La famiglia di aperti che consideri non è nemmeno un ricoprimento di [tex][-1,1][/tex] 
in effetti ...
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