Compattezza palla unitaria

[gbspeedy]

Perchè la palla unitaria non è compatta in C([0,1]) rispetto alla norma 1?
Posso dimostrarlo prendendo un'opportuna successione $f_n$?

[dissonance]

Che cos'è la norma 1? Tieni comunque conto che c'è un teorema astratto che regola queste cose: in uno spazio di Banach, la palla unitaria è compatta se e solo se lo spazio ha dimensione finita.

[gbspeedy]

$||f||_1=int_{0}^{1} |f(t)|dt$

volevo mostrarlo prendendo una successione $f_n$ sull'intervallo $[0,1]$ che è nulla in $[0,1/(n+1)]$ e $[1/n,1]$ mentre in $(1/(n+1),1/n)$ è un triangolo di altezza $2n(n+1)$

[dissonance]

va bene
se quella successione avesse una estratta convergente, questa dovrebbe per forza essere la funzione nulla, e la cosa è assurda perché tutti i termini della successione hanno norma pari a $1$

[gbspeedy]

Io so che $||f_n||_1=1$. Se volessi calcolare $||f_n-f_m||_1$ verrebbe 2 per cui non esiste una sottosuccessione convergente?