Compattezza in uno spazio infinito dimensionale
Ciao a tutti,
ho un problema nel dimostrare un'affermazione fatta a lezione dal mio professore, riguardante gli insiemi compatti in un Hilbert. Lui ha affermato che
"Detto H uno spazio di Hilbert infinito dimensionale e V un sottoinsieme finito dimensionale di H, un insieme chiuso e limitato U contenuto in V è un compatto"
Io ho pensato che questa affermazione segue dal teorema di Riesz grazie al quale so che la palla unitaria in V è compatta se e solo se V ha dimensione finita; inoltre so anche che in uno spazio finito dimensionale, il prototipo di un compatto è la palla unitaria e che un compatto è un chiuso e limitato.
Non riesco però a mettere insieme tutti questi risultati in modo da avere un ragionamento chiaro. Mi aiutate?
grazie mille!!!
ho un problema nel dimostrare un'affermazione fatta a lezione dal mio professore, riguardante gli insiemi compatti in un Hilbert. Lui ha affermato che
"Detto H uno spazio di Hilbert infinito dimensionale e V un sottoinsieme finito dimensionale di H, un insieme chiuso e limitato U contenuto in V è un compatto"
Io ho pensato che questa affermazione segue dal teorema di Riesz grazie al quale so che la palla unitaria in V è compatta se e solo se V ha dimensione finita; inoltre so anche che in uno spazio finito dimensionale, il prototipo di un compatto è la palla unitaria e che un compatto è un chiuso e limitato.
Non riesco però a mettere insieme tutti questi risultati in modo da avere un ragionamento chiaro. Mi aiutate?
grazie mille!!!
Risposte
Qui in realtà lo spazio infinito dimensionale $H$ non entra proprio, tutto avviene nello spazio finito dimensionale $V$. In questo spazio un sottoinsieme è compatto se e solo se esso è chiuso e limitato, e questo è esattamente il teorema di Bolzano-Weierstrass.
Se vuoi dimostrare Bolzano-Weierstrass partendo dal teorema di Riesz che citi, mostra che un sottoinsieme chiuso e limitato $U$ di $V$ è contenuto in una palla chiusa di raggio $R$. Tale palla è compatta e quindi tutti i suoi sottoinsiemi chiusi sono compatti.
Se vuoi dimostrare Bolzano-Weierstrass partendo dal teorema di Riesz che citi, mostra che un sottoinsieme chiuso e limitato $U$ di $V$ è contenuto in una palla chiusa di raggio $R$. Tale palla è compatta e quindi tutti i suoi sottoinsiemi chiusi sono compatti.
infatti anche io non capisco bene perché lui ha tirato in ballo questo spazio infinito dimensionale.
Comunque mi metto subito all'opera per dimostrare che un sottoinsieme chiuso e limitato U di V è contenuto in una palla chiusa di raggio R. Sai darmi qualche indizio su come partire?
So che un sottoinsieme è limitato se e solo se è contento in una palla di raggio R, ma non saprei come utilizzare il fatto che sia chiuso
Comunque mi metto subito all'opera per dimostrare che un sottoinsieme chiuso e limitato U di V è contenuto in una palla chiusa di raggio R. Sai darmi qualche indizio su come partire?
So che un sottoinsieme è limitato se e solo se è contento in una palla di raggio R, ma non saprei come utilizzare il fatto che sia chiuso
Un sottoinsieme è limitato se e solo se è contenuto in una palla chiusa. Se lo spazio è di dimensione finita, le palle chiuse sono compatte. In questo caso, quindi, un sottoinsieme chiuso e limitato è un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto. E qui scatta un fatto generale, facile: un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è esso stesso compatto.
Fine.
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