Compattezza e connessione di un insieme
Ciao a tutti! Ero alle prese con un esercizio sul calcolo di un flusso di un campo di vettori attraverso una superficie e quello che mi porta più problemi è questo: devo dimostrare che $S={(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+z^2+arctan^2(xyz^2)=7}$ è una superficie compatta e connessa di classe $C^(infty)$. Io ho iniziato con la compattezza:
Chiuso. Sì perché controimmagine di un aperto(${7}$) attraverso una funzione continua
Limitato. Posto $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+arctan^2(xyz^2)$ volevo dimostrare che questa tende a $+infty$ da cui la limitatezza(perchè appunto va a più infinito e nel frattempo deve essere uguale a 7)
Per il limite penso sia quasi ovvio(l'arcotangente non conta più di tanto quando la norma del vettore $(x,y,z)$ va a più infinito e la somma dei quadrati va banalmente a $+ infty$)
Per dimostrare che è $C^(infty)$ basta vedere che $\nabla(f(x,y,z))!=(0,0,0)$ in tutti i punti dell'insieme.
Per la connessione non so proprio cosa inventare
Chiuso. Sì perché controimmagine di un aperto(${7}$) attraverso una funzione continua
Limitato. Posto $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+arctan^2(xyz^2)$ volevo dimostrare che questa tende a $+infty$ da cui la limitatezza(perchè appunto va a più infinito e nel frattempo deve essere uguale a 7)
Per il limite penso sia quasi ovvio(l'arcotangente non conta più di tanto quando la norma del vettore $(x,y,z)$ va a più infinito e la somma dei quadrati va banalmente a $+ infty$)
Per dimostrare che è $C^(infty)$ basta vedere che $\nabla(f(x,y,z))!=(0,0,0)$ in tutti i punti dell'insieme.
Per la connessione non so proprio cosa inventare
Risposte
Non ho letto tutto e non so se sono in grado di aiutarti ma poco tempo fa abbiamo parlato di un esercizio abbastanza simile, magari trovi qualche idea!
Scusa se rispondo così in ritardo, poi proverò a leggerlo, grazie. Ma quell'arcotangente che ho nella descrizione del mio insieme mi fa paura 
La dimostrazione della compattezza va bene. Per la connessione, può essere di grande aiuto conoscere i punti critici di \(f\). Li hai calcolati? Come hai fatto a dimostrare che \(\nabla f\ne (0,0,0)\) su \(S\)?
Una maniera elegante può essere osservare che
\[\tag{1}
(x,y,z)\cdot \nabla f(x,y,z)= 2|\mathbf{x}|^2 + \frac{4\arctan(xyz^2)xyz^2}{1+x^2y^2z^4}\ge 0,\]
perché \(\arctan(z)z\ge 0\) per ogni \(z\in\mathbb R\), e che la disuguaglianza (1) è stretta, a meno che \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Questo implica due cose. Intanto, \(\nabla f(\mathbf x)=\mathbf 0\) se e solo se \(\mathbf x=\mathbf 0\), perciò \(S\) è una superficie regolare. E poi, la funzione
\[
F(\lambda):=f(\lambda \mathbf x), \qquad \lambda \in[0, \infty), \]
è tale che \(F'(\lambda)=\mathbf x \cdot \nabla f(\mathbf x)>0\) per ogni \(\lambda >0\) e \(\mathbf x\ne \mathbf 0\). Inoltre, ovviamente, \(F(0)=0\) e \(F(\lambda)\to \infty\) per \(\lambda\to \infty\). Quindi, per ogni \(\mathbf x\in\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\), l'equazione \(F(\lambda)= 7\) ha una e una sola soluzione; questo significa che ogni semiretta uscente dall'origine interseca \(S\) in uno e un solo punto. Questo implica che \(S\) è il bordo di un insieme stellato rispetto all'origine, e quindi che è connesso.
La dimostrazione di quest'ultimo fatto si può anche fare direttamente con poco sforzo aggiuntivo. Per il ragionamento fatto sopra, la mappa
\[
\mathbf x \in S\mapsto \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|}\in\mathbb S^2
\]
è una biezione. Chiaramente tale mappa è continua, e siccome sia \(S\) sia \(\mathbb S^2\) sono spazi compatti, essa è un omeomorfismo. Concludiamo che \(S\) è un insieme connesso perché omeomorfo allo spazio connesso \(\mathbb S^2\).
Quest'ultimo ragionamento è esattamente quello utilizzato da Bremen nel post linkato.
Una maniera elegante può essere osservare che
\[\tag{1}
(x,y,z)\cdot \nabla f(x,y,z)= 2|\mathbf{x}|^2 + \frac{4\arctan(xyz^2)xyz^2}{1+x^2y^2z^4}\ge 0,\]
perché \(\arctan(z)z\ge 0\) per ogni \(z\in\mathbb R\), e che la disuguaglianza (1) è stretta, a meno che \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Questo implica due cose. Intanto, \(\nabla f(\mathbf x)=\mathbf 0\) se e solo se \(\mathbf x=\mathbf 0\), perciò \(S\) è una superficie regolare. E poi, la funzione
\[
F(\lambda):=f(\lambda \mathbf x), \qquad \lambda \in[0, \infty), \]
è tale che \(F'(\lambda)=\mathbf x \cdot \nabla f(\mathbf x)>0\) per ogni \(\lambda >0\) e \(\mathbf x\ne \mathbf 0\). Inoltre, ovviamente, \(F(0)=0\) e \(F(\lambda)\to \infty\) per \(\lambda\to \infty\). Quindi, per ogni \(\mathbf x\in\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\), l'equazione \(F(\lambda)= 7\) ha una e una sola soluzione; questo significa che ogni semiretta uscente dall'origine interseca \(S\) in uno e un solo punto. Questo implica che \(S\) è il bordo di un insieme stellato rispetto all'origine, e quindi che è connesso.
La dimostrazione di quest'ultimo fatto si può anche fare direttamente con poco sforzo aggiuntivo. Per il ragionamento fatto sopra, la mappa
\[
\mathbf x \in S\mapsto \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|}\in\mathbb S^2
\]
è una biezione. Chiaramente tale mappa è continua, e siccome sia \(S\) sia \(\mathbb S^2\) sono spazi compatti, essa è un omeomorfismo. Concludiamo che \(S\) è un insieme connesso perché omeomorfo allo spazio connesso \(\mathbb S^2\).
Quest'ultimo ragionamento è esattamente quello utilizzato da Bremen nel post linkato.
Grazie dissonance per l'aiuto!
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