Compattezza e completezza - Due esercizi
Evito di lordare la sezione con le mie quisquilie multiple, indi per cui condenso tutte le richieste in un topic unico.
Chiedo conferme intorno allo svolgimento dei seguenti.
Esercizio n°1:
Svolgimento:
Intanto noto che un insieme compatto è anche sequenzialmente compatto (e viceversa); quindi per ogni successione di punti \(\displaystyle (h_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) (risp. \(\displaystyle (k_{n})_{n \in \mathbb{N}} \)) di \(\displaystyle H \) (risp. di \(\displaystyle K \)) esiste una sottosuccessione \(\displaystyle (h_{n_{t}})_{n_{t} \in \mathbb{N}} \) (risp. \(\displaystyle (k_{n_{p}})_{n_{p} \in \mathbb{N}} \) - selezionando appositamente degli indici) tale che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} h_{n_{t}}=h \in H \) (e idem per l'altro compatto).
Sia ora \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di punti di \(\displaystyle H \times K \), ove \(\displaystyle H \times K = \{(h,k) \ | \ h \in H \ , \ k \in K \} \); una tale successione sarà del tipo \(\displaystyle a_{n}=(h_{n},k_{n}) \). Quindi per quanto detto prima la successione delle prime coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle H \) e la successione delle seconde coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle K \). Sarà quindi sufficiente selezionare degli indici in modo tale che \(\displaystyle (a_{n_{q}})_{n_{q} \in \mathbb{N}} \) converga ad un elemento di \(\displaystyle H \times K \).
Può andare?
Esercizio n°2:
Svolgimento:
In realtà questo esercizio non l'ho risolto; ho solo fatto delle osservazioni per le quali la tesi potrebbe essere ragionevole.
Intanto presumo che sia \(\displaystyle K_{n} \subset X \ \ \forall n \in \mathbb{N} \).
Osservazione 1: in uno spazio metrico l'intersezione di chiusi (anche infiniti) è chiusa. Un punto è chiuso;
Osservazione 2: gli insiemi \(\displaystyle K_{n} \) sono tutti non vuoti, quindi qualcosa ci deve stare, nell'intersezione;
Osservazione 3: l'insieme intersezione ha diametro \(\displaystyle 0 \) al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito, quindi potrebbe contenere al più un punto.
Cosa ne dite? Come eventualmente formalizzare?
Ringrazio.
Chiedo conferme intorno allo svolgimento dei seguenti.
Esercizio n°1:
Siano \(\displaystyle m,k,n \in \mathbb{N} \) con \(\displaystyle k+m=n \). Su \(\displaystyle \mathbb{R^{m}} \), \(\displaystyle \mathbb{R^{k}} \) ed \(\displaystyle \mathbb{R^{n}}=\mathbb{R^{k}} \times \mathbb{R^{m}} \) fissiamo la distanza standard. Provare che se \(\displaystyle H \subset \mathbb{R^{m}} \) e \(\displaystyle K \subset \mathbb{R^{k}}\) sono compatti, allora \(\displaystyle H \times K \subset \mathbb{R^{n}} \) è compatto.
Svolgimento:
Intanto noto che un insieme compatto è anche sequenzialmente compatto (e viceversa); quindi per ogni successione di punti \(\displaystyle (h_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) (risp. \(\displaystyle (k_{n})_{n \in \mathbb{N}} \)) di \(\displaystyle H \) (risp. di \(\displaystyle K \)) esiste una sottosuccessione \(\displaystyle (h_{n_{t}})_{n_{t} \in \mathbb{N}} \) (risp. \(\displaystyle (k_{n_{p}})_{n_{p} \in \mathbb{N}} \) - selezionando appositamente degli indici) tale che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} h_{n_{t}}=h \in H \) (e idem per l'altro compatto).
Sia ora \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di punti di \(\displaystyle H \times K \), ove \(\displaystyle H \times K = \{(h,k) \ | \ h \in H \ , \ k \in K \} \); una tale successione sarà del tipo \(\displaystyle a_{n}=(h_{n},k_{n}) \). Quindi per quanto detto prima la successione delle prime coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle H \) e la successione delle seconde coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle K \). Sarà quindi sufficiente selezionare degli indici in modo tale che \(\displaystyle (a_{n_{q}})_{n_{q} \in \mathbb{N}} \) converga ad un elemento di \(\displaystyle H \times K \).
Può andare?
Esercizio n°2:
Sia \(\displaystyle (X,d) \) uno spazio metrico completo e sia \(\displaystyle (K_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di insiemi chiusi non vuoti tali che:
i) \(\displaystyle K_{n+1} \subset K_{n} \) per ogni \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \);
ii) \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \mbox{diam}(K_{n})=0. \)
Provare allora che esiste \(\displaystyle x \in X \) tale che \[\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} K_{n} = \{x \} \]
Svolgimento:
In realtà questo esercizio non l'ho risolto; ho solo fatto delle osservazioni per le quali la tesi potrebbe essere ragionevole.
Intanto presumo che sia \(\displaystyle K_{n} \subset X \ \ \forall n \in \mathbb{N} \).
Osservazione 1: in uno spazio metrico l'intersezione di chiusi (anche infiniti) è chiusa. Un punto è chiuso;
Osservazione 2: gli insiemi \(\displaystyle K_{n} \) sono tutti non vuoti, quindi qualcosa ci deve stare, nell'intersezione;
Osservazione 3: l'insieme intersezione ha diametro \(\displaystyle 0 \) al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito, quindi potrebbe contenere al più un punto.
Cosa ne dite? Come eventualmente formalizzare?
Ringrazio.
Risposte
Purtroppo sono un po' di fretta e non riesco a guardare tutto in dettaglio. Comunque, spero che le mie osservazioni ti possano essere utili.
L'esercizio n.1 è un caso particolare di un teorema moooolto più generale
, un teorema di quelli tosti (il teorema di Tychonoff: prodotto di compatti è compatto).
Per l'esercizio n.2, le tue considerazioni sono certamente corrette anche se bisogna formalizzare. L'asserto è una generalizzazione di un risultato noto a volte come teorema degli intervalli incapsulati (è un teorema di Cantor: puoi trovate una dimostrazione del caso unidimensionale qui).
P.S.
[OT]
Lordare? Quisquilie? Non direi proprio. Se mi posso permettere, non ti buttare giù, caro delirium. Siamo o siamo stati tutti studenti e tutti noi abbiamo o abbiamo avuto i nostri dubbi: non dobbiamo vergognarcene, anzi. Molto spesso è proprio dai nostri dubbi e dalle nostre perplessità che impariamo di più.
E poi, detto sinceramente, i tuoi post sono sempre molto piacevoli da leggere.
Quindi, stai tranquillo, non lordi nulla e non disturbi nessuno; è un vero piacere discorrere con gente come te.
[/OT]
L'esercizio n.1 è un caso particolare di un teorema moooolto più generale
, un teorema di quelli tosti (il teorema di Tychonoff: prodotto di compatti è compatto).Per l'esercizio n.2, le tue considerazioni sono certamente corrette anche se bisogna formalizzare. L'asserto è una generalizzazione di un risultato noto a volte come teorema degli intervalli incapsulati (è un teorema di Cantor: puoi trovate una dimostrazione del caso unidimensionale qui).
P.S.
[OT]
"Delirium":
Evito di lordare [...] le mie quisquilie multiple [...]
Lordare? Quisquilie? Non direi proprio. Se mi posso permettere, non ti buttare giù, caro delirium. Siamo o siamo stati tutti studenti e tutti noi abbiamo o abbiamo avuto i nostri dubbi: non dobbiamo vergognarcene, anzi. Molto spesso è proprio dai nostri dubbi e dalle nostre perplessità che impariamo di più.
E poi, detto sinceramente, i tuoi post sono sempre molto piacevoli da leggere.
Quindi, stai tranquillo, non lordi nulla e non disturbi nessuno; è un vero piacere discorrere con gente come te.
[/OT]
Ti ringrazio per tutto, Paolo. Avevo immaginato che ci fosse dietro qualcosa di ben più grosso leggendo un paio di paginette sul Topology di Munkres (pag. 167 - "The product of finitely many compact spaces is compact"). Rileggendo la mia dimostrazione ancora non mi accorgo di eventuali falle; tuttavia questo eventualmente perché, come hai sottolineato, si tratta in un caso moolto particolare e semplificato (per esempio già posso dare per scontanto, Teorema di Heine-Borel, che i due insiemi in questione siano chiusi e limitati).
"Delirium":Purtroppo l'hai insozzata. Pazienza.
Evito di lordare
"Delirium":Ma no! "Devi" estrarre una sottosuccessione convergente dalle prime coordinate. E, poi, da questa sottosuccessione estrarre ulteriormente una sottosuccessione convergente per le seconde coordinate. Sennò te lo scordi.
Sia ora \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di punti di \(\displaystyle H \times K \), ove \(\displaystyle H \times K = \{(h,k) \ | \ h \in H \ , \ k \in K \} \); una tale successione sarà del tipo \(\displaystyle a_{n}=(h_{n},k_{n}) \). Quindi per quanto detto prima la successione delle prime coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle H \) e la successione delle seconde coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle K \). Sarà quindi sufficiente selezionare degli indici in modo tale che \(\displaystyle (a_{n_{q}})_{n_{q} \in \mathbb{N}} \) converga ad un elemento di \(\displaystyle H \times K \).
"Delirium":Puf! Prendi gli intervalli $[n, +oo[$ e fanne l'intersezione al variare di $n$. Manco un pugno di mosche in mano, ti resta.
Osservazione 2: gli insiemi \(\displaystyle K_{n} \) sono tutti non vuoti, quindi qualcosa ci deve stare, nell'intersezione;
"Fioravante Patrone":
Ma no! "Devi" estrarre una sottosuccessione convergente dalle prime coordinate. E, poi, da questa sottosuccessione estrarre ulteriormente una sottosuccessione convergente per le seconde coordinate. Sennò te lo scordi.
Non mi è chiara questa correzione. Se prendo un punto \(\displaystyle (h,k) \in H \times K \), la "coordinata" \(\displaystyle h \) avrà a sua volta \(\displaystyle m \) coordinate e la "coordinata" \(\displaystyle h \) avrà \(\displaystyle k \) coordinate. Per la compattezza di \(\displaystyle H \) una successione \(\displaystyle (h_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) possiede un'estratta convergente (ad un elemento di \(\displaystyle H \)). Lo stesso vale per \(\displaystyle K \). Quindi da ogni successione di punti di \(\displaystyle H \times K \) posso estrarre una sottosuccessione convergente, estraendo prima dalla prima "coordinata" - \(\displaystyle h \) - e quindi dalla seconda. Vedo ancora biecamente?
"Fioravante Patrone":
Puf! Prendi gli intervalli $[n, +oo[$ e fanne l'intersezione al variare di $n$. Manco un pugno di mosche in mano, ti resta.
Idealmente si otterrebbe \(\displaystyle ]\infty , \infty[ \). Ma cosa contiene questo intervallo?
Ringrazio.
"Delirium":
Idealmente si otterrebbe \(\displaystyle ]\infty , \infty[ \). Ma cosa contiene questo intervallo?
Nada, nix, ciccia
Per l'appunto, quell'intersezione di chiusi incapsulati è vuota.
Giusto. Allora c'è qualche ipotesi che non sto utilizzando... Per esempio la completezza dello spazio metrico...
Certo, la completezza è fondamentale.
Potresti iniziare costruendo una successione \((x_n)\) in \(X\) t.c. \(x_n\in K_n\) per ogni \(n\); vedi un po' cosa ti permette di dire l'ipotesi (ii).
Potresti iniziare costruendo una successione \((x_n)\) in \(X\) t.c. \(x_n\in K_n\) per ogni \(n\); vedi un po' cosa ti permette di dire l'ipotesi (ii).
Mmm... Forse mi hai dato un'idea. Considero una successione di punti \(\displaystyle (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) tale che \(\displaystyle x_{1} \in K_{1} \smallsetminus K_{2} \), \(\displaystyle x_{2} \in K_{2} \smallsetminus K_{3} \) e, più in generale, \(\displaystyle x_{n} \in K_{n} \smallsetminus K_{n+1} \). Al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito gli insiemi si contraggono sempre più, il che implica che la distanza tra un punto e il successivo della successione diminuisce (perché diminuisce vertiginosamente la distanza tra la frontiera di un insieme e del suo "contenitore", e quindi diminuisce lo "spazio" utile a collocare un elemento della successione). Cioè \(\displaystyle \forall \epsilon>0 \ \exists \bar{n} \in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle \forall n,m > \bar{n} \) si ha \[\displaystyle |x_{n} - x_{m}|<\epsilon \]
Siccome lo spazio metrico è completo, la successione deve convergere.
Immagino che, se la costruzione è anche solo vagamente corretta, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=x \).
Siccome lo spazio metrico è completo, la successione deve convergere.
Immagino che, se la costruzione è anche solo vagamente corretta, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=x \).
Basta proprio prendere \(x_n\in K_n\) (non c'è bisogno di disgiungere da \(K_{n-1}\)).
Come hai osservato, se \(n,m\geq N\) si ha che
\[
d(x_n, x_m) \leq \text{diam} K_N
\]
dunque la successione è di Cauchy. Sfruttando la completezza hai che \(x_n \to x\), con \(x\in X\).
Ti rimane da dimostrare che \(x\) sta nell'intersezione dei \(K_n\) (che poi ci sia solo lui è segue sempre da (ii)).
Come hai osservato, se \(n,m\geq N\) si ha che
\[
d(x_n, x_m) \leq \text{diam} K_N
\]
dunque la successione è di Cauchy. Sfruttando la completezza hai che \(x_n \to x\), con \(x\in X\).
Ti rimane da dimostrare che \(x\) sta nell'intersezione dei \(K_n\) (che poi ci sia solo lui è segue sempre da (ii)).
L'idea di ficcare il punto nella disgiunzione è un mero orpello che mi ha permesso di immaginare la situazione.
L'unica argomentazione che mi sovviene al momento è una prova per assurdo: se \(\displaystyle x \) non sta nell'intersezione di tutti questi insiemi allora esiste un \(\displaystyle K_{m} \) tale che \(\displaystyle x \notin K_{m} \); ma \(\displaystyle x \in K_{m+1} \subset K_{m} \) implica che \(\displaystyle x \in K_{m} \), il che è assurdo.
Si potrebbe un po' generalizzare, ma non convince più di tanto...
L'unica argomentazione che mi sovviene al momento è una prova per assurdo: se \(\displaystyle x \) non sta nell'intersezione di tutti questi insiemi allora esiste un \(\displaystyle K_{m} \) tale che \(\displaystyle x \notin K_{m} \); ma \(\displaystyle x \in K_{m+1} \subset K_{m} \) implica che \(\displaystyle x \in K_{m} \), il che è assurdo.
Si potrebbe un po' generalizzare, ma non convince più di tanto...
"Delirium":
Sia ora \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di punti di \(\displaystyle H \times K \), ove \(\displaystyle H \times K = \{(h,k) \ | \ h \in H \ , \ k \in K \} \); una tale successione sarà del tipo \(\displaystyle a_{n}=(h_{n},k_{n}) \). Quindi per quanto detto prima la successione delle prime coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle H \) e la successione delle seconde coordinate possiederà una sottosuccessione convergente ad un elemento di \(\displaystyle K \). Sarà quindi sufficiente selezionare degli indici in modo tale che \(\displaystyle (a_{n_{q}})_{n_{q} \in \mathbb{N}} \) converga ad un elemento di \(\displaystyle H \times K \).
Tornando serio, il punto importante, che non appare per nulla da quanto dicevi qui sopra, è questo:
- prendi una sottosuccessione convergente delle "prime" coordinate
- e poi da questa estrai una alteriore sottosuccessione
NON puoi estrarre una sottosuccessione convergente dalle prime coordinate e indipendentemente una sottosuccessione convergente dalle seconde coordinate: rischi di non trovarti nulla in mano.
Basta pensare a cosa succede se la prima sottosuccessione è costituita dagli indici pari e la seconda dagli indici dispari.
Dalla tua risposta successiva forse si capisce che questo fatto ti era presente, ma comunque come l'avevi espresso qui sopra non era per nulla chiaro che tu fossi consapevole di questa sottigliezza.
"Delirium":
L'unica argomentazione che mi sovviene al momento è una prova per assurdo: se \(\displaystyle x \) non sta nell'intersezione di tutti questi insiemi allora esiste un \(\displaystyle K_{m} \) tale che \(\displaystyle x \notin K_{m} \); ma \(\displaystyle x \in K_{m+1} \subset K_{m} \) implica che \(\displaystyle x \in K_{m} \), il che è assurdo.
Si potrebbe un po' generalizzare, ma non convince più di tanto...
Più semplicemente: fissato \(N\in\mathbb{N}\), hai che \(x_n \in K_N\) per ogni \(n\geq N\). Poiché \(K_N\) è chiuso, questo implica che \(x = \lim_n x_n \in K_N\).
Dunque \( x\in K_N\) per ogni \(N\in\mathbb{N}\), che è quanto si voleva dimostrare.
"Rigel":
Più semplicemente: fissato \(N\in\mathbb{N}\), hai che \(x_n \in K_N\) per ogni \(n\geq N\). Poiché \(K_N\) è chiuso, questo implica che \(x = \lim_n x_n \in K_N\).
Dunque \( x\in K_N\) per ogni \(N\in\mathbb{N}\), che è quanto si voleva dimostrare.
Giusto, giusto. Ho tirato in ballo un'argomentazione un po' troppo fatua.
Ti ringrazio infinitamente, Rigel. Non è la prima volta che mi trai d'impaccio.
"Fioravante Patrone":
Tornando serio, il punto importante, che non appare per nulla da quanto dicevi qui sopra, è questo:
- prendi una sottosuccessione convergente delle "prime" coordinate
- e poi da questa estrai una alteriore sottosuccessione
NON puoi estrarre una sottosuccessione convergente dalle prime coordinate e indipendentemente una sottosuccessione convergente dalle seconde coordinate: rischi di non trovarti nulla in mano.
Basta pensare a cosa succede se la prima sottosuccessione è costituita dagli indici pari e la seconda dagli indici dispari.
Dalla tua risposta successiva forse si capisce che questo fatto ti era presente, ma comunque come l'avevi espresso qui sopra non era per nulla chiaro che tu fossi consapevole di questa sottigliezza.
Perfetto. Sono stato troppo oscuro e forse anche un po' confusionario, più sopra.
Ringrazio per le utilissime correzioni!
"Delirium":Attenzione: il mio (classico) esempio vive dentro R, che è spazio metrico completo. Quindi non è lì la magagna. Il problema è che gli insiemi inscatolati sono "troppo grossi", e quindi la completezza non riesce a mordere.
Giusto. Allora c'è qualche ipotesi che non sto utilizzando... Per esempio la completezza dello spazio metrico...
Sì sì, quello mi era ben chiaro. Il mio post era una sorta di "pensiero ad alta voce" mediante il quale ho richiamato la mia attenzione sul fatto che lo spazio metrico dev' / doveva essere completo.
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