Compattezza di un sottoinsieme di $l^2$

[Lumi1]

Vi propongo il seguente problema, sia perchè lo ritengo interessante, sia perchè voglio controllare di averlo risolto correttamente. E' un problema tratto dal concorso di ammissione al PhD in SISSA del 2006.

Sia $l^2(\mathbb{R})$ lo spazio di Hilbert composto da tutte le successioni di numeri reali $x = (x_n)_{n\geq \1}$ tali che
\[
||x||_2^2 = \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < +\infty.
\]

Sia $(a_n)_{n\geq 1}$ una successione di numeri reali tali che $a_n \to +\infty$ per $n\to +\infty$. Dimostrare che l'insieme
\[
E = \Big\{ x = (x_n)_n \in l^2(\mathbb{R}) : \quad\sum_{n=1}^\infty a_n x_n^2 \leq 1 \Big\}
\]

è compatto in $l^2(\mathbb{R})$.

In spoiler qualche indizio:

Definiamo lo spazio normato (in realtà è pure di Hilbert, ma non ci serve)
\[
l^2_a(\mathbb{R}) = \Big\{ x = (x_n)_n \in l^2(\mathbb{R}) : \quad\sum_{n=1}^\infty a_n x_n^2 < +\infty \Big\}.
\]

Dimostro poi che l'immersione $$\iota : l^2_a(\mathbb{R}) \to l^2(\mathbb{R})$$ tale che $\iota(x) = x$ per ogni $x$ è un operatore compatto. Per fare questo dimostro che $\iota$ appartiene alla chiusura dell'insieme degli operatori di rango finito tra $l^2_a(\mathbb{R})$ e $l^2(\mathbb{R})$ nella norma operatoriale.

Fatemi sapere che ne pensate

[Sk_Anonymous]

Mi sembra ragionevole. La prima cosa a cui ho pensato anche io è stata di scrivere quell'immersione come limite di operatori di rango finito (e quindi banalmente compatti) per poi ricordare che, appunto, \(\mathcal{K}(H)\) è chiuso in \(\mathcal{L}(H)\).

[Lumi1]

Bene, grazie Delirium del feedback