Compattezza di spazio di funzioni continue e derivabili
Buon pomeriggio a tutti.
È la prima domanda che faccio quindi spero di essere riuscita a compilare correttamente tutte le formule. Ho un problema con la richiesta di questo esercizio. Per il Teorema di Heine-Borel so che è compatto se è chiuso e limitato ma non riesco a dimostrare la limitatezza.. Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
Sia $C^1 ([0,1])$ lo spazio delle funzioni continue su $[0,1]$, derivabili su $(0,1)$ e la cui derivata si possa estendere con continuità su $[0, 1]$. Sia inoltre $∥ · ∥C^1$ : $C^1 ([0,1]) \to RR$ definita da $∥u∥C^1 := ∥u∥infty + ∥u′∥infty$ per ogni u ∈ $C^1([0, 1])$
Determinare se $(C^1 ([0, 1])$, $∥ · ∥C^1)$ è uno spazio compatto
[xdom="mathbells"]Spostato in analisi di base. Avevi postato in Fisica.[/xdom]
È la prima domanda che faccio quindi spero di essere riuscita a compilare correttamente tutte le formule. Ho un problema con la richiesta di questo esercizio. Per il Teorema di Heine-Borel so che è compatto se è chiuso e limitato ma non riesco a dimostrare la limitatezza.. Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
Sia $C^1 ([0,1])$ lo spazio delle funzioni continue su $[0,1]$, derivabili su $(0,1)$ e la cui derivata si possa estendere con continuità su $[0, 1]$. Sia inoltre $∥ · ∥C^1$ : $C^1 ([0,1]) \to RR$ definita da $∥u∥C^1 := ∥u∥infty + ∥u′∥infty$ per ogni u ∈ $C^1([0, 1])$
Determinare se $(C^1 ([0, 1])$, $∥ · ∥C^1)$ è uno spazio compatto
[xdom="mathbells"]Spostato in analisi di base. Avevi postato in Fisica.[/xdom]
Risposte
Up
Take the sequence $\{u_k\}=kx$. They are functions in $C^1([0,1])$ but $\|u_k|\_{C^1}=\|u_k\|_\infty+\|u'_k\|_\infty=k+k=2k\to\infty$. Then, this sequence has no convergent subsequences, so $C^1([0,1])$ is not compact.
By the way, Heine-Borel is not true for all metric spaces.
By the way, Heine-Borel is not true for all metric spaces.
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