Compattezza dell'inverso dell'operatore di Laplace

[GiuliaS1802]

Buongiorno a tutti, sto studiando la teoria degli operatori compatti e voglio sfruttarla per studiare l'operatore di Laplace (che non è neanche limitato) attraverso il suo inverso (che invece è compatto). Nelle mie dispense dopo dei passaggi un po' naïf, arriva a definirmi questo fantomatico inverso $A: L^{2}(Q) \rightarrow H_{0}^{1}(Q)$ (con $Q\sub \RR^{n}$ aperto, limitato, con frontiera regolare) come $Av=-u$ . Sfruttando la disuguaglianza di Poincaré riesco a scrivere $\|| Av ||_{1}<=C_p\|| v ||$ e quindi a vedere che ${f_n}\subL^{2}(Q):$ $\|| f_n ||<=C \Rightarrow || Af_n ||_{1}<=C_pC$. A questo punto dalla teoria so che successioni limitate in $H_{0}^{1}(Q)$ sono compatte (per compattezza intendiamo quella sequenziale) in $L^{2}(Q)$ e secondo il mio testo ho dimostrato la compattezza dell'opertore $A$. Qui il mio dubbio, per dire che $A$ è un operatore compatto, dovevo dimostrare che ${f_n}\subL^{2}(Q):$ $\|| f_n ||<=C \Rightarrow \EE f_{n_k} : Af_{n_k}$ è convergente in $H_{0}^{1}(Q)$, mentre io sfruttando le immersioni dimostro che lo è in $L^{2}(Q)$. Quindi? E' abbastanza per dire che l'operatore è compatto? Cosa mi manca, dove sbaglio?

Spero qualcuno possa darmi delle idee, comunque grazie!

[dissonance]

In effetti hai ragione, quello che tu dimostri è che \(A\colon L^2\to H^1_0\) è un operatore limitato, e quindi, usando la compattezza dell'immersione \(H^1_0(Q)\subset L^2(Q)\), dimostri che $A$ è compatto se visto come un operatore $L^2(Q)\to L^2(Q)$.

Non saprei dirti se l'operatore è compatto nel senso di \(H^1_0(Q)\). Ma quasi sicuramente non è questo quello che ti serve. Se stai studiando la teoria astratta degli operatori compatti, sicuramente stai studiando il teorema spettrale, che è tutto un festival di autovalori e autovettori. Quella roba lì ha senso solo per operatori definiti in uno spazio e a valori nello stesso spazio: altrimenti, l'equazione $Au=\lambda u$ non ha senso. Quindi la cosa che davvero ti serve è dimostrare che \(A\colon L^2(Q)\to L^2(Q)\) è compatto, e lo hai già fatto.