Compattezza
Non riesco a capire una dimostrazione fatta a lezione dal mio professore.
Vogliamo dimostrare che $X sub RR$ compatto $=> X$ chiuso e limitato.
Sugli appunti ho scritto che, considerata una successione in $X$, essa converge a un elemento di $X$ e dunque $X$ è chiuso. Tuttavia non ho capito questo passaggio. Per definizione di compattezza, $X$ è compatto se ogni successione in $X$ ha estratta convergente in $X$. Mi sembra ci sia una notevole differenza tra una successione e una sua estratta (tra l'altro, la definizione dice che se $X$ è compatto, allora esiste almeno una estratta convergente in $X$ e non che tutte le estratte sono convergenti in $X$). Come si spiega ciò?
Vogliamo dimostrare che $X sub RR$ compatto $=> X$ chiuso e limitato.
Sugli appunti ho scritto che, considerata una successione in $X$, essa converge a un elemento di $X$ e dunque $X$ è chiuso. Tuttavia non ho capito questo passaggio. Per definizione di compattezza, $X$ è compatto se ogni successione in $X$ ha estratta convergente in $X$. Mi sembra ci sia una notevole differenza tra una successione e una sua estratta (tra l'altro, la definizione dice che se $X$ è compatto, allora esiste almeno una estratta convergente in $X$ e non che tutte le estratte sono convergenti in $X$). Come si spiega ciò?
Risposte
probabilmente sono presi male gli appunti. Per provare che $X$ è chiuso, si può dimostrare (grazie al fatto che $\RR$ è a base numerabile) che contiene tutti i punti limite di successioni in $X$ che convergono in $\RR$. Prendi dunque una successione in $X$ convergente. Siccome tutte le estratte convergono allo stesso limite, necessariamente questo deve appartenere ad $X$.
La limitatezza è ovvia: se non fosse limitato potresti costruire facilmente una successione divergente e quindi senza estratte convergenti.
La limitatezza è ovvia: se non fosse limitato potresti costruire facilmente una successione divergente e quindi senza estratte convergenti.
Altrimenti si può passare dal Teorema di Bolzano-Weierstrass: dato uno spazio metrico $(X,d)$ e $A \sube X$ allora $A$ è compatto se e solo se $(A, d)$ è completo e totalmente limitato.
Una volta dimostrato questo puoi vedere la tua dimostrazione come un semplice corollario infatti:
- $A$ è chiuso se e solo se $(A,d)$ è completo.
- $A$ è limitato se e solo se $A$ è totalmente limitato (in $\mathbb R$).
Quindi sono rispettate le condizioni del precedente teorema, ovvero $A$ è compatto.
Una volta dimostrato questo puoi vedere la tua dimostrazione come un semplice corollario infatti:
- $A$ è chiuso se e solo se $(A,d)$ è completo.
- $A$ è limitato se e solo se $A$ è totalmente limitato (in $\mathbb R$).
Quindi sono rispettate le condizioni del precedente teorema, ovvero $A$ è compatto.
Purtroppo il mio problema non era dimostrare una certa proposizione in maniera alternativa (scomodando la completezza), ma piuttosto desideravo capire il significato della dimostrazione (seppure molto sintetica) del mio professore.
In effetti, come suggeriva uber, avevo omesso una parola negli appunti, che mi impediva di capire il senso della cosa.
La dimostrazione del mio professore è la seguente: consideriamo una successione in $X$ convergente, allora per ipotesi essa ammette estratta convergente a un elemento di $X$, ma evidentemente il limite della successione e il limite dell'estratta coincidono, per cui la successione originaria converge a un elemento di $X$... ho così mostrato che, comunque si prenda una successione in $X$ convergente, allora il limite di tale successione è in $X$ e dunque $X$ è chiuso.
Questo fatto era stato messo in evidenza da uber, anche se forse, ai fini del risultato da me cercato, non occorre fare alcuna osservazione su eventuali basi numerabili.
Ringrazio in ogni caso tutti coloro che sono intervenuti.
In effetti, come suggeriva uber, avevo omesso una parola negli appunti, che mi impediva di capire il senso della cosa.
La dimostrazione del mio professore è la seguente: consideriamo una successione in $X$ convergente, allora per ipotesi essa ammette estratta convergente a un elemento di $X$, ma evidentemente il limite della successione e il limite dell'estratta coincidono, per cui la successione originaria converge a un elemento di $X$... ho così mostrato che, comunque si prenda una successione in $X$ convergente, allora il limite di tale successione è in $X$ e dunque $X$ è chiuso.
Questo fatto era stato messo in evidenza da uber, anche se forse, ai fini del risultato da me cercato, non occorre fare alcuna osservazione su eventuali basi numerabili.
Ringrazio in ogni caso tutti coloro che sono intervenuti.
Non spariamo cannonate alle zanzare, la prova è elementare: se una successione in $X$ converge ad un certo $x \in \RR$, allora per compattezza tale successione ha un'estratta convergente in $X$, da cui $x \in X$.
il fatto che la chiusura di un insieme è l'insieme dei punti limite di successioni è vero solo per spazi a base numerabile!
In generale servono le reti.
In generale servono le reti.
Sì, ma qui stiamo parlando di un sottoinsieme di $\RR$...
oh certo certo, ma infatti era solo una osservazione che però è sempre meglio fare...
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