Compatibilità dell'ordine di $R$ con le operazioni.
Ciao,
Vorrei sapere se la compatibilità dell'ordine di $R$ con le operazioni può essere dimostrata o va presa come una cosa "intuitiva".
Mi riferisco a questo fatto:
Siano $x,y,z$ reali;
Se $x<=y$ allora $x+z<=y+z$.
Grazie.
Vorrei sapere se la compatibilità dell'ordine di $R$ con le operazioni può essere dimostrata o va presa come una cosa "intuitiva".
Mi riferisco a questo fatto:
Siano $x,y,z$ reali;
Se $x<=y$ allora $x+z<=y+z$.
Grazie.
Risposte
penso che tutto parta dalla costruzione dei reali di dedekind, cosa non molto semplice...
Quasi sempre $RR$ viene introdotto assiomaticamente con gli assiomi di campo, di ordine totale e di compatibilità.
Quasi sempre $RR$ viene introdotto assiomaticamente con gli assiomi di campo, di ordine totale e di compatibilità.
"anto_zoolander":
penso che tutto parta dalla costruzione dei reali di dedekind, cosa non molto semplice...
Quasi sempre $RR$ viene introdotto assiomaticamente con gli assiomi di campo, di ordine totale e di compatibilità.
Ho capito, quindi lo devo prendere come assioma e come fatto intuivito, ti ringrazio.
Ma no, non è un assioma ...
Se $x\ x
Cordialmente, Alex
Se $x
Cordialmente, Alex
Sul mio buon De Marco li assume come assiomi
"AnalisiZero":
Ciao,
Vorrei sapere se la compatibilità dell'ordine di $R$ con le operazioni può essere dimostrata o va presa come una cosa "intuitiva".
Mi riferisco a questo fatto:
Siano $x,y,z$ reali;
Se $x<=y$ allora $x+z<=y+z$.
Grazie.
[size=85]Osservazione preliminare: la compatibilità dell'ordine con le operazioni comprende un altro requisito che riguarda la moltiplicazione. Giusto per la precisione[/size]
La risposta è: "dipende".
A) i numeri reali sono introdotti per via assiomatica? Allora quello che citi tu è un assioma (assieme a quello simile per la moltiplicazione). Vedi ad esempio (punto 15 a pag 43 del pdf, ovvero prima pagina della tabella finale):
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _cap_1.pdf
B) i numeri reali sono "costruiti" a partire dai razionali (ad esempio tramite le sezioni di Dedekind citate da anto_zoolander, o uno dei tanti altri metodi)? E allora ovvio che si tratta di proprietà che devono essere dimostrate
"anto_zoolander":
:-?
È proprio per questo che lo chiedo, anch'io sto studiando sul De Marco e penso che secondo ciò che dice Patrone il De marco lo intenda come assioma altrimenti penso che l'avrebbe dimostrato.
In effetti a lezione si è parlato degli assiomi dei numeri reali, quindi devo prendere $RR$ come definito in modo assiomatico in questo caso giusto?
Si.
Poi in generale al posto di chiamarlo $RR$ puoi chiamarlo pincopallino e assumere che pincopallino sia un campo totalmente ordinato su cui sono definite due operazioni compatibili con l’ordinamento e che sia completo.
Sai che per una mano dedekind ci ha salvati dicendoci che almeno uno con tali proprietà esiste.
La cosa bella di $RR$ è che parliamo diciamo di quantità numeriche, ma se trovi un altro campo con le stesse caratteristiche penso che tu possa farci analisi anche lì.
Poi in generale al posto di chiamarlo $RR$ puoi chiamarlo pincopallino e assumere che pincopallino sia un campo totalmente ordinato su cui sono definite due operazioni compatibili con l’ordinamento e che sia completo.
Sai che per una mano dedekind ci ha salvati dicendoci che almeno uno con tali proprietà esiste.
La cosa bella di $RR$ è che parliamo diciamo di quantità numeriche, ma se trovi un altro campo con le stesse caratteristiche penso che tu possa farci analisi anche lì.
Perché ti interessa $RR$?
Per le sue proprietà (tra cui spicca la completezza), piuttosto utili.
Allora ci si mette di buzzo buono e si cerca di distillare per bene le proprietà che servono (diciamo che ci son voluti alcuni secoli).
Insomma, ci fa comodo un insieme su cui siano definite operazioni e relazioni che "godano" di certe proprietà.
E allora facciamo le cose per benino e mettiamo giù una lista di assiomi.
Ecco la definizione assiomatica di $RR$.
Che mi aspetto di trovare su ogni buon manuale di analisi, magari con qualche differenza tra un libro e l'altro. Ma sono differenze dovute al gusto dell'autore, perché alla fin fine sono equivalenti tra loro.
Bene, abbiamo finito? Bah, mica tanto...
Ci sarebbero un paio di domandine che meriterebbero di ricevere una risposta:
- esiste davvero un oggetto matematico con tutte queste proprietà carine?
- se c'è, è per caso unico?
La risposta alla prima domanda la si trova costruendo un modello: la via classica, come già detto, parte dai razionali: definito opprotunamente cosa sia un numero reale, si definiscono le operazioni (se hai qualche problema d'insonnia, prova a definire la somma di due sezioni di Dedekind, e se proprio non riesci a dormire, anche il prodotto). Si definisce anche l'ordine. E poi ci si mette lì con calma a dimostrare che tutte le proprietà (come richiesto dagli assiomi di $RR$) sono vere.
Che poi il modello sia (essenzialmente) unico, è vero. Anche se è una questione che coinvolge un po' di logica matematica (serve il calcolo dei predicati del secondo ordine, per grantire la "unicità"). In brevi parole, il sistema di assiomi di $RR$ è categorico. Vedi ad esempio qui (non l'autore e non ho controllato il testo):
http://www.scuoletoscane.it/public/vide ... 000140.pdf
PS: ho visto che anche anto_zoolander ha (già) risposto. Direi che ha detto in poche righe sintetiche quello che io ho sbrodolato qua sopra
Per le sue proprietà (tra cui spicca la completezza), piuttosto utili.
Allora ci si mette di buzzo buono e si cerca di distillare per bene le proprietà che servono (diciamo che ci son voluti alcuni secoli).
Insomma, ci fa comodo un insieme su cui siano definite operazioni e relazioni che "godano" di certe proprietà.
E allora facciamo le cose per benino e mettiamo giù una lista di assiomi.
Ecco la definizione assiomatica di $RR$.
Che mi aspetto di trovare su ogni buon manuale di analisi, magari con qualche differenza tra un libro e l'altro. Ma sono differenze dovute al gusto dell'autore, perché alla fin fine sono equivalenti tra loro.
Bene, abbiamo finito? Bah, mica tanto...
Ci sarebbero un paio di domandine che meriterebbero di ricevere una risposta:
- esiste davvero un oggetto matematico con tutte queste proprietà carine?
- se c'è, è per caso unico?
La risposta alla prima domanda la si trova costruendo un modello: la via classica, come già detto, parte dai razionali: definito opprotunamente cosa sia un numero reale, si definiscono le operazioni (se hai qualche problema d'insonnia, prova a definire la somma di due sezioni di Dedekind, e se proprio non riesci a dormire, anche il prodotto). Si definisce anche l'ordine. E poi ci si mette lì con calma a dimostrare che tutte le proprietà (come richiesto dagli assiomi di $RR$) sono vere.
Che poi il modello sia (essenzialmente) unico, è vero. Anche se è una questione che coinvolge un po' di logica matematica (serve il calcolo dei predicati del secondo ordine, per grantire la "unicità"). In brevi parole, il sistema di assiomi di $RR$ è categorico. Vedi ad esempio qui (non l'autore e non ho controllato il testo):
http://www.scuoletoscane.it/public/vide ... 000140.pdf
PS: ho visto che anche anto_zoolander ha (già) risposto. Direi che ha detto in poche righe sintetiche quello che io ho sbrodolato qua sopra
Si, credo di aver capito.
Avrei un'altra domanda che riguarda questo argomento:
Perché nell'introduzione del libro (De Marco) c'è scritto che $RR$ indica il corpo dei numeri reali e non il campo dei numeri reali o l'insieme dei numeri reali?
Avrei un'altra domanda che riguarda questo argomento:
Perché nell'introduzione del libro (De Marco) c'è scritto che $RR$ indica il corpo dei numeri reali e non il campo dei numeri reali o l'insieme dei numeri reali?
"AnalisiZero":
Si, credo di aver capito.
Avrei un'altra domanda che riguarda questo argomento:
Perché nell'introduzione del libro (De Marco) c'è scritto che $RR$ indica il corpo dei numeri reali e non il campo dei numeri reali o l'insieme dei numeri reali?
Non ho il "De Marco", dico la mia opinione:
- che con $RR$ si intenda non solo l'insieme dei numeri reali, ma anche tutte le strutture che ci mettiamo sopra (operazioni e ordinamento), con le loro tipiche proprietà, è pacifico
- mi sembra strano insistere su "corpo" anziché "campo", anche perché $RR$ è un "corpo commutativo", e cioè un... "campo", dal punto di vista algebrico (cioè, per quanto riguarda le operazioni), mentre dal punto di vista dell'algebra quando si parla di "corpo" non è garantita la commutatività (non viene richiesta)
Magari prova un po' a rileggere, sennò posta una foto/scan della pagina. Alla peggio, lo chiedi a lui direttamente
"Fioravante Patrone":
[quote="AnalisiZero"]Si, credo di aver capito.
Avrei un'altra domanda che riguarda questo argomento:
Perché nell'introduzione del libro (De Marco) c'è scritto che $RR$ indica il corpo dei numeri reali e non il campo dei numeri reali o l'insieme dei numeri reali?
Non ho il "De Marco", dico la mia opinione:
- che con $RR$ si intenda non solo l'insieme dei numeri reali, ma anche tutte le strutture che ci mettiamo sopra (operazioni e ordinamento), con le loro tipiche proprietà, è pacifico
- mi sembra strano insistere su "corpo" anziché "campo", anche perché $RR$ è un "corpo commutativo", e cioè un... "campo", dal punto di vista algebrico (cioè, per quanto riguarda le operazioni), mentre dal punto di vista dell'algebra quando si parla di "corpo" non è garantita la commutatività (non viene richiesta)
Magari prova un po' a rileggere, sennò posta una foto/scan della pagina. Alla peggio, lo chiedi a lui direttamente[/quote]
Effettivamente è così...
Infatti quella è solo un'introduzione e andando a leggere il capitolo sui gruppi,anelli e corpi c'è scritto che $RR$ è un "corpo commutativo" e quindi l'introduzione non voleva essere una definizione completa come in effetti c'è scritto. Grazie ancora.
Però anche sul Prodi $RR$ lo presenta come corpo ordinato completo, e poi enuncia anche un teorema (senza dimostrarlo) che dice che tutti i corpi ordinati completi sono isomorfi a $RR$, che si può pensare come una generalizzazione del più noto teorema che tutti i CMAPI ordinati completi sono isomorfi a $RR$, infatti dall'ultimo enunciato uno potrebbe pensare: ma se mi metto a cercare tra i corpi ordinati completi c'è speranza che ne trovi uno diverso da $RR$? Ovviamente non sarà commutativo, ma potrebbe esistere. Quel teorema dice proprio che in realtà non si può trovare.
Quindi io penso che abbia senso parlare di "corpo ordinato completo" riferendoci a $RR$ perché è una caratterizzazione più generale di "campo ordinato completo".
Quindi io penso che abbia senso parlare di "corpo ordinato completo" riferendoci a $RR$ perché è una caratterizzazione più generale di "campo ordinato completo".
Dire "corpo" invece di "campo" è un francesismo:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_gau ... rminologie
https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_gau ... rminologie
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