Commutatività operatore di convoluzione
Ciao
mi trovo a dover dimostrare che l'operatore di convoluzione è commutativo, ma mi sto trovando di fronte ad un dubbio.
Se uso le trasformate di Laplace e le relative proprietà, la dimostrazione mi viene rapida e semplice, ma se uso la definizione ho questo problema
[tex]f(x) * g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau)d\tau[/tex]
facendo la sostituzione $tau = x-y$ quindi $x-tau = y$
ho anche che ${d tau}/{dy}=-1$ quindi $d tau = -dy$ sostituendo ottengo
[tex]f(x) * g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau)d\tau =- \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y)dy=- \int_{-\infty}^{\infty} g(y)f(x-y)dy = -(g(x)*f(x))[/tex]
dove sbaglio?
mi trovo a dover dimostrare che l'operatore di convoluzione è commutativo, ma mi sto trovando di fronte ad un dubbio.
Se uso le trasformate di Laplace e le relative proprietà, la dimostrazione mi viene rapida e semplice, ma se uso la definizione ho questo problema
[tex]f(x) * g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau)d\tau[/tex]
facendo la sostituzione $tau = x-y$ quindi $x-tau = y$
ho anche che ${d tau}/{dy}=-1$ quindi $d tau = -dy$ sostituendo ottengo
[tex]f(x) * g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau)d\tau =- \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y)dy=- \int_{-\infty}^{\infty} g(y)f(x-y)dy = -(g(x)*f(x))[/tex]
dove sbaglio?
Risposte
Devi anche cambiare l'ordine degli estremi di integrazione.
vergogna ai massimi storici)Mi ero dimenticato di considerarli!!!
è corretto dimostrare questa proprietà usando le trasformate di Laplace? Io credo di si
Mah, non saprei. Non mi sono mai posto il problema, visto che alla fine la dimostrazione con il cambiamento di variabile è così semplice e naturale. Non mi pare il caso di starsi a complicare la vita.
Secondo me non la complica ma la semplifica:
[tex]f(x)*g(x) \xrightarrow{\mathcal{L}} F(s) \cdot G(s) = G(s) \cdot F(s) \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} g(x) * f(x)[/tex]
quindi
[tex]f(x)*g(x)= g(x) * f(x)[/tex]
a me sembra più semplice, non trovi?
[tex]f(x)*g(x) \xrightarrow{\mathcal{L}} F(s) \cdot G(s) = G(s) \cdot F(s) \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} g(x) * f(x)[/tex]
quindi
[tex]f(x)*g(x)= g(x) * f(x)[/tex]
a me sembra più semplice, non trovi?
E si, però non sono sicuro che per dimostrare le proprietà di omomorfismo di \(\mathcal{L}\) (parolone riferito al fatto che trasforma convoluzioni in prodotti puntuali) tu non debba usare la commutatività della convoluzione. Se le cose stanno così allora non è logicamente corretto il discorso che hai fatto.
E comunque sono sicuro che per dimostrare quelle proprietà devi fare dei cambiamenti di variabile. Quindi tanto vale farli già da subito.
E comunque sono sicuro che per dimostrare quelle proprietà devi fare dei cambiamenti di variabile. Quindi tanto vale farli già da subito.
probabilmente hai ragione.
Non è poi così complicata la dimostrazione originale (salvo errore scemi come il mio iniziale
)
Non è poi così complicata la dimostrazione originale (salvo errore scemi come il mio iniziale
)
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