Come verificare che una funzione a due variabili è limitata
Salve a tutti,
vorrei sapere come poter verificare che una funzione a due variabili sia limitata. Ho pensato che ciò si potesse verificare calcolando i limiti della funzione a $+oo$ ed a $-oo$ (utilizzando ovviamente varie restrizioni) e se i limiti esistono e sono finiti allora la funzione è limitata. Però se utilizzo questo metodo con una funzione come $f(x,y)=x^2/(x^2+y^2)$ calcolando ad esempio il limite a $+oo$ trovo che se considero le restrizioni $x=0$ e $y=0$ viene una volta $0$ e l'altra $1$ quindi il limite non dovrebbe esistere ma la funzione è invice limitata sia superiormente che inferiormente (è compresa fra $0$ ed $1$). Quindi mi chiedo dove sbaglio? è sbagliato il ragionamento per verificare se la funzione è limitata o ho commesso degli errori nel calcolo del limite?
vorrei sapere come poter verificare che una funzione a due variabili sia limitata. Ho pensato che ciò si potesse verificare calcolando i limiti della funzione a $+oo$ ed a $-oo$ (utilizzando ovviamente varie restrizioni) e se i limiti esistono e sono finiti allora la funzione è limitata. Però se utilizzo questo metodo con una funzione come $f(x,y)=x^2/(x^2+y^2)$ calcolando ad esempio il limite a $+oo$ trovo che se considero le restrizioni $x=0$ e $y=0$ viene una volta $0$ e l'altra $1$ quindi il limite non dovrebbe esistere ma la funzione è invice limitata sia superiormente che inferiormente (è compresa fra $0$ ed $1$). Quindi mi chiedo dove sbaglio? è sbagliato il ragionamento per verificare se la funzione è limitata o ho commesso degli errori nel calcolo del limite?
Risposte
Il ragionamento è ovviamente sbagliato, come del resto puoi verificare considerando ad esempio \(f(x,y) = xy\) (vedi un po' cosa succede lungo gli assi e sulle restrizioni \(y = \pm x\)).
Per dimostrare che una funzione è limitata puoi, ad esempio, usare delle maggiorazioni.
Nel tuo caso la funzione è fratta, con numeratore e denominatore non negativi, e denominatore \(\geq\) del numeratore.
Dunque, dove la frazione è definita (cioè fuori dall'origine), la frazione è \(\leq 1\) (e naturalmente anche \(\geq 0\)).
Per dimostrare che una funzione è limitata puoi, ad esempio, usare delle maggiorazioni.
Nel tuo caso la funzione è fratta, con numeratore e denominatore non negativi, e denominatore \(\geq\) del numeratore.
Dunque, dove la frazione è definita (cioè fuori dall'origine), la frazione è \(\leq 1\) (e naturalmente anche \(\geq 0\)).
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