Come vedere se una funzione è maggiore di un altra

[svarosky90]

Salve facendo esercizi stamane me ne è capitato uno curioso. L'esercizio è :
Mostrare che $sin x >=x-(x^3)/6 $ per ogni $x >=0$. Il professore a inizio anno disse che si doveva fare la funzione differenza che è $sin x -x+(x^3)/6$ poi farne la derivata e discuterne il segno . Tuttavia non ho capito quest'ultima parte del ragionamento della derivata e del suo segno e come da qui arrivare alla conclusione che una è maggiore dell'altra.

[Raptorista1]

Indizio: Se la derivata della differenza è positiva, la differenza aumenta in quell'intorno.

[svarosky90]

Quindi faccio la derivata se il segno è positivo vuol dire che la prima funzione in quell'intorno è più grande. Ma quindi devo mostrare che la derivata della differenza è sempre positiva?

[Raptorista1]

Quella è una condizione sufficiente ma non necessaria: se tutti i minimi sono ad ordinata positiva, questa è sufficiente.

[svarosky90]

Quindi basterebbe studiare i minimi della funzione anzichè guardare che è sempre positiva?

[Raptorista1]

Se è sempre positiva, hai già finito; se invece non è monotòna, ma nei minimi la differenza è comunque positiva, sei a posto.

[svarosky90]

Ok teoricamente ho capito ma è negli esercizi che mi blocco. Ad esempio mostrare che $sin x>=x-(x^3)/6$ per ogni $x>=0$.Io faccio la funzione differenza che è $sin x-x+(x^3)/6$ Dopodiche faccio la derivata prima che è $cos x -1+3(x^2)/6$. A questo punto cosa devo fare per mostrare che $ sin(x) >= x-(x^3)/6$ ? Se qualcuno può farmi vedere i passaggi. Grazie

[j18eos]

Io userei lo sviluppo di Taylor della funzione seno dal principio!

[trustedin]

Devo dimostrare che $ sin (pi /2x)>=x $ nell'intervallo [0,1]
per cui ho fatto la funzione differenza e la ho derivata:
$ sin (pi /2x)-x>=0$
$ f^I(x)=pi /2cos (pi /2x)-1 $
questa derivata non ha sempre l'ordinata maggiore di zero perchè diventa negativa in $ x=(2arccos (pi /2))/pi $
come posso dimostrare che la disuguaglianza di partenza è vera?
Grazie mille!