Come trovare funzione inversa?
Ho la funzione $f(x)=(sqrt(x+1))/(x^2-4x+3)$
1.Trovare l'insieme di definizione, calcolare i limiti agli estremi di tale insieme. Trovare eventuali estremi relativi ed assoluti. Disegnarne il grafico.
2. Mostrare che $g=f|_[-1,1]$ è invertibile. Disegnare il grafico di $g^-1$. Calcolare la derivata di $g^-1$ in $y_0=1/3$
Trovo il dominio:
$sqrt(x+1)>=0 -> x>=-1$
$x^2-4x+3ne0 -> x ne 1$ e $x ne 3$
Quindi il dominio è $[-1,+infty)$
Limiti:
$lim_(x->-1) (sqrt(x+1))/(x^2-4x+3) = lim_(x->-1) 0/0$ Uso il teorema di De L'Hopital:
$lim_(x->-1) ((1/(2sqrt(x+1)))*1)/(2x-4) = lim_(x->-1) infty/-6 = +infty$
$lim_(x->+infty) (sqrt(x+1))/(x^2-4x+3) = lim_(x->+infty) infty/infty$ Uso di nuovo il teorema di De L'Hopital:
$lim_(x->+infty) ((1/(2sqrt(x+1)))*1)/(2x-4) = lim_(x->+infty) 0/infty= 0$
Per trovare i massimi e i minimi relativi e assoluti studio il segno della derivata:
$((1/(2sqrt(x+1)))*1)/(2x-4) >= 0$
Il numeratore viene $x>=-1$
Il denominatore $x>2$
Risulta che $-1$ è punto di massimo relativo e $2$ è punto di minimo relativo.
I punti di massimo e minimo relativo non so come trovarli.
Ora che ho risposto alla consegna 1, non so come rispondere alla seconda consegna, come faccio a dimostrare che $g=f|_[-1,1]$ è invertibile?
Grazie a chi mi aiuterà!
1.Trovare l'insieme di definizione, calcolare i limiti agli estremi di tale insieme. Trovare eventuali estremi relativi ed assoluti. Disegnarne il grafico.
2. Mostrare che $g=f|_[-1,1]$ è invertibile. Disegnare il grafico di $g^-1$. Calcolare la derivata di $g^-1$ in $y_0=1/3$
Trovo il dominio:
$sqrt(x+1)>=0 -> x>=-1$
$x^2-4x+3ne0 -> x ne 1$ e $x ne 3$
Quindi il dominio è $[-1,+infty)$
Limiti:
$lim_(x->-1) (sqrt(x+1))/(x^2-4x+3) = lim_(x->-1) 0/0$ Uso il teorema di De L'Hopital:
$lim_(x->-1) ((1/(2sqrt(x+1)))*1)/(2x-4) = lim_(x->-1) infty/-6 = +infty$
$lim_(x->+infty) (sqrt(x+1))/(x^2-4x+3) = lim_(x->+infty) infty/infty$ Uso di nuovo il teorema di De L'Hopital:
$lim_(x->+infty) ((1/(2sqrt(x+1)))*1)/(2x-4) = lim_(x->+infty) 0/infty= 0$
Per trovare i massimi e i minimi relativi e assoluti studio il segno della derivata:
$((1/(2sqrt(x+1)))*1)/(2x-4) >= 0$
Il numeratore viene $x>=-1$
Il denominatore $x>2$
Risulta che $-1$ è punto di massimo relativo e $2$ è punto di minimo relativo.
I punti di massimo e minimo relativo non so come trovarli.
Ora che ho risposto alla consegna 1, non so come rispondere alla seconda consegna, come faccio a dimostrare che $g=f|_[-1,1]$ è invertibile?
Grazie a chi mi aiuterà!
Risposte
ciao Francesfarmer
devi dimostrare che la funzione di partenza è invertibile nel solo intervallo $(-1,1)$
per fare questo devi fare vedere che li la funzione è strettamente monotona quindi usi la derivata prima che ATTENZIONE non è proprio quella che scrivi tu... è la derivata di un rapporto quindi...
una volta scritta la derivata vera passi a dimostrare che in quell'intervallo è sempre positiva (oppure negativa) quindi la funzione sarà monotona per cui invertibile
Disegnare il grafico della inversa in quell'unico intervallo è alquanto semplice... prima fai il grafico della $f(x)$ e da li io uso un metodo grafico molto semplice che consiste nel calcare bene la penna sul grafico di $f(x)$, girare il foglio e rovesciarlo e magicamente appare il disegno della $g(x)$
per l'ultima domanda devi vedere quanto vale la derivata della $g(x)$ nel punto in cui $f(x)=1/3$... se guardi bene tale punto corrisponde a $x=0$ in quanto $f(0)=1/3$... di solito per questo genere di domande si usano punti semplici
Ora applichi la proprietà
$g'(1/3)=1/(f'(0))$
quindi nella formula della derivata corretta calcoli $f'(0)$ e inverti il risultato
tutto chiaro?
devi dimostrare che la funzione di partenza è invertibile nel solo intervallo $(-1,1)$
per fare questo devi fare vedere che li la funzione è strettamente monotona quindi usi la derivata prima che ATTENZIONE non è proprio quella che scrivi tu... è la derivata di un rapporto quindi...
una volta scritta la derivata vera passi a dimostrare che in quell'intervallo è sempre positiva (oppure negativa) quindi la funzione sarà monotona per cui invertibile
Disegnare il grafico della inversa in quell'unico intervallo è alquanto semplice... prima fai il grafico della $f(x)$ e da li io uso un metodo grafico molto semplice che consiste nel calcare bene la penna sul grafico di $f(x)$, girare il foglio e rovesciarlo e magicamente appare il disegno della $g(x)$
per l'ultima domanda devi vedere quanto vale la derivata della $g(x)$ nel punto in cui $f(x)=1/3$... se guardi bene tale punto corrisponde a $x=0$ in quanto $f(0)=1/3$... di solito per questo genere di domande si usano punti semplici
Ora applichi la proprietà
$g'(1/3)=1/(f'(0))$
quindi nella formula della derivata corretta calcoli $f'(0)$ e inverti il risultato
tutto chiaro?
Cavolo è vero! Ho sbagliato la derivata 
Grazie mille, ora vedo se riesco a risolvere tutto l'esercizio, se no torno qui.
Grazie mille, ora vedo se riesco a risolvere tutto l'esercizio, se no torno qui.
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