Come svolgereste questa serie?
[tex]\sum \left [ \left ( 1+\sin \frac{1}{n^{\alpha }} \right )^{\sqrt{2}} - 1\right ]^{\beta }[/tex]
con [tex]\alpha, \beta > 0[/tex]
Io ho provato a svolgerlo così:
[tex]\lim \left [ \left ( 1+\sin \frac{1}{n^{\alpha }} \right )^{\sqrt{2}} - 1\right ]^{\beta } \simeq \lim \left [ \sqrt{2} \cdot \sin \frac{1}{n^{\alpha }}\right ]^{\beta } \simeq \sqrt{2}^\beta \cdot \lim \frac{1}{n^{\alpha \cdot \beta} }[/tex]
E' dunque possibile confrontare la serie di partenza con questa serie armonica ?
[tex]\sum \left ( {\frac{1}{n}} \right )^{\alpha \cdot \beta }[/tex]
con [tex]\alpha, \beta > 0[/tex]
Io ho provato a svolgerlo così:
[tex]\lim \left [ \left ( 1+\sin \frac{1}{n^{\alpha }} \right )^{\sqrt{2}} - 1\right ]^{\beta } \simeq \lim \left [ \sqrt{2} \cdot \sin \frac{1}{n^{\alpha }}\right ]^{\beta } \simeq \sqrt{2}^\beta \cdot \lim \frac{1}{n^{\alpha \cdot \beta} }[/tex]
E' dunque possibile confrontare la serie di partenza con questa serie armonica ?
[tex]\sum \left ( {\frac{1}{n}} \right )^{\alpha \cdot \beta }[/tex]
Risposte
Esatto. 
Quindi che risultato ottieni?
Quindi che risultato ottieni?
che per [tex]\alpha \cdot \beta \geq 1[/tex] converge. Mentre per [tex]0 < \alpha \cdot \beta <1[/tex] diverge positivamente.
Non mi pare si possa semplificare di più.
Non mi pare si possa semplificare di più.
Occhio a quell'uguale...
hai ragione 
[tex]\alpha \cdot \beta > 1[/tex] converge ; [tex]\alpha \cdot \beta \leq 1[/tex] diverge pos.
Ma allora stiamo applicando una sorta di criterio del confronto oppure queste serie hanno lo stesso carattere? Cioè, il fatto che asintoticamente sono simili, dimostra che hanno lo stesso carattere?
[tex]\alpha \cdot \beta > 1[/tex] converge ; [tex]\alpha \cdot \beta \leq 1[/tex] diverge pos. Ma allora stiamo applicando una sorta di criterio del confronto oppure queste serie hanno lo stesso carattere? Cioè, il fatto che asintoticamente sono simili, dimostra che hanno lo stesso carattere?
Definiamo "asintoticamente simili"... Possiamo dire che due successioni definitivamente positive [tex]$a_n \approx b_n$[/tex] se [tex]$\lim \frac{a_n}{b_n} =l \in ]0,+\infty[$[/tex].
In tal caso, per la stessa definizione di limite possiamo trovare una costate [tex]$C$[/tex] tale che [tex]$a_n\leq C\ b_n$[/tex] per [tex]$n$[/tex] grande; quindi se [tex]$\sum b_n$[/tex] converge anche [tex]$\sum a_n$[/tex] converge (oppure se [tex]$\sum a_n$[/tex] diverge, [tex]$\sum b_n$[/tex] diverge).
Viceversa possiamo trovare un [tex]$C^\prime$[/tex] tale che [tex]$b_n\leq C^\prime \ a_n$[/tex], cosicché se [tex]$\sum a_n$[/tex] converge anche [tex]$\sum b_n$[/tex] converge (oppure se [tex]$\sum b_n$[/tex] diverge, [tex]$\sum a_n$[/tex] diverge).
In ogni caso, se gli addendi di due serie sono asintoticamente simili (o equivalenti) le serie hanno lo stesso carattere.
In tal caso, per la stessa definizione di limite possiamo trovare una costate [tex]$C$[/tex] tale che [tex]$a_n\leq C\ b_n$[/tex] per [tex]$n$[/tex] grande; quindi se [tex]$\sum b_n$[/tex] converge anche [tex]$\sum a_n$[/tex] converge (oppure se [tex]$\sum a_n$[/tex] diverge, [tex]$\sum b_n$[/tex] diverge).
Viceversa possiamo trovare un [tex]$C^\prime$[/tex] tale che [tex]$b_n\leq C^\prime \ a_n$[/tex], cosicché se [tex]$\sum a_n$[/tex] converge anche [tex]$\sum b_n$[/tex] converge (oppure se [tex]$\sum b_n$[/tex] diverge, [tex]$\sum a_n$[/tex] diverge).
In ogni caso, se gli addendi di due serie sono asintoticamente simili (o equivalenti) le serie hanno lo stesso carattere.
grazie per la risposta esaustiva. Ti ringrazio, e nel frattempo cerco di spillarti un'altra informazione su quest oargomento
Serie:
[tex]\sum n^\alpha \cdot ( \cleft 1 - n \cdot \arctan\frac {1} {n} \cright )[/tex]
Utilizzando il suddetto confronto asintotico, e sapendo che: [tex]\arctan\frac {1} {n} \simeq \frac {1} {n}[/tex]
sostituendo risulterebbe:
[tex]\sum n^\alpha \cdot ( 1 - 1 )[/tex] ovvero [tex]\sum n^\alpha \cdot 0[/tex] ovvero ancora [tex]\sum 0 = 0[/tex]
La quale converge ( ha somma 0 ).
Possiamo dunque anche ora dire che la prima serie converge?
Serie:
[tex]\sum n^\alpha \cdot ( \cleft 1 - n \cdot \arctan\frac {1} {n} \cright )[/tex]
Utilizzando il suddetto confronto asintotico, e sapendo che: [tex]\arctan\frac {1} {n} \simeq \frac {1} {n}[/tex]
sostituendo risulterebbe:
[tex]\sum n^\alpha \cdot ( 1 - 1 )[/tex] ovvero [tex]\sum n^\alpha \cdot 0[/tex] ovvero ancora [tex]\sum 0 = 0[/tex]
La quale converge ( ha somma 0 ).
Possiamo dunque anche ora dire che la prima serie converge?
No, non si può dire ancora nulla.
Prova ad usare un'approssimazione migliore per l'arcotangente: ad esempio, il polinomio di Taylor al terzo ordine.
Prova ad usare un'approssimazione migliore per l'arcotangente: ad esempio, il polinomio di Taylor al terzo ordine.
Ottimo, non ci avevo proprio pensato. Al terzo ordine funziona alla grande
Ma come mai ancora non si poteva dire niente?
Ma come mai ancora non si poteva dire niente?
Tanto per trovare un motivo immediato: la tua serie è a termini positivi e, per vedere se converge, non ha senso confrontarla con la serie nulla.
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