Come svolgere questo integrale fratto?

[mobley]

Svolgendo un equazione differenziale, nel passare da $z=y'$ a $y= int y'$ mi sono bloccato a questo punto:

$ -e^cint(x^2)/(1+e^cx^2) $

Non riesco ad andare avanti: suggerimenti?

[sandroroma]

Presumo che la variabile d'integrazione sia $x$. Se è così, poni:
$x=e^{-c/2}t$
A conti fatti l'integrale dovrebbe risultare come segue:
$-x+e^{-c/2}\arctan(xe^{c/2})+C$

[mobley]

Grazie sandroroma!
In ogni caso non avrei mai avuto quest'intuizione all'esame. Esiste un metodo un po' più elementare?

[sandroroma]

In verità si tratta di calcoli applicabili quando l'integrando è una frazione razionale. Nel nostro caso la frazione
integranda si può scrivere anche così:
$- \frac{1+x^2e^c-1}{1+x^2e^c}=-[1-1/{1+x^2e^c}]=-1+1/{1+x^2e^c}$
Integrando termine a termine hai:
$-x+\int (1/{1+x^2e^c})dx$
Ora l'integrale rimasto somiglia parecchio a quello di arcotangente. E' sufficiente ridurre $x^2e^c$ ad un quadrato
e questo si può ottenere scrivendolo come $(xe^{c/2])^2$
A questo punto puoi porre $xe^{c/2}=t$ e il gioco é fatto...

[mobley]

Nulla da dire...grazie mille!