Come svolgere questo esercizio di analisi
dimostrare le seguenti indennità sfruttando le proprietà delle sommatorie e i suggerimenti forniti
n
$ sum $ i = n(n+1)
______
2
i=1
vedi immagine più chiara:
nota.per la prossima volta come si fa la stenografia del simbolo della sommatoria con il codice ascii???
nota...il fratto 2 sta sotto n(n+1)
n
$ sum $ i = n(n+1)
______
2
i=1
vedi immagine più chiara:
nota.per la prossima volta come si fa la stenografia del simbolo della sommatoria con il codice ascii???
nota...il fratto 2 sta sotto n(n+1)
Risposte
Benvenuto; ti converrebbe modificare il post (tasto in alto a destra) utilizzando le formule (click). 
Chiama $S$ la somma che stai cercando. Allora
$S = 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n$,
$S = n + (n-1) + \cdots + 2 + 1$.
Scrivile una sopra l'altra incolonnando bene i termini corrispondenti.
Adesso sommale, sommando separatamente ogni coppia di termini incolonnati; ottieni
$2S = [1+n] + [2+(n-1)] + \cdots + [(n-1)+2] + [n+1]$.
Se fai il conto di quanti addendi (fra parentesi quadre) ci sono, dovresti arrivare alla soluzione.
Altro metodo: per induzione.
$S = 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n$,
$S = n + (n-1) + \cdots + 2 + 1$.
Scrivile una sopra l'altra incolonnando bene i termini corrispondenti.
Adesso sommale, sommando separatamente ogni coppia di termini incolonnati; ottieni
$2S = [1+n] + [2+(n-1)] + \cdots + [(n-1)+2] + [n+1]$.
Se fai il conto di quanti addendi (fra parentesi quadre) ci sono, dovresti arrivare alla soluzione.
Altro metodo: per induzione.
Altro modo ancora, a mio avviso molto bello ed elegante (lo preferisco all'induzione ma son gusti) usi le formule di addizione e simmetria dei coefficienti binomiali. Un procedimento analogo lo puoi usare anche per [tex]\displaystile \sum_{i=1}^n i^2[/tex] e [tex]\displaystile \sum_{i=1}^n i^3[/tex]. Non so se si possa generalizzare a [tex]\displaystile \sum_{i=1}^n i^m, m\in \mathbb{N}[/tex], ci penserò. Se qualcuno si vuole lanciare è un bell'esercizietto
Beh la somma dei primi n numeri, dei quadrati e dei cubi sfruttanto le proprietà dei coefficienti binomiali non è difficile... mi riferivo a questo con "bell'esercizietto". Poi ripeto, anch'io prima di leggere il tuo link non sapevo se si potesse generalizzare.
[mod="Steven"]Ciao Gianlucat.
Per il futuro, ti chiederei di scrivere titoli specifici (che questo è un esercizio di analisi è superfluo dirlo, visto che siamo nella sezione analisi) e evitare di rappresentare le formule con tentativi di accorpamento lineette e altro.
[/mod]
Per il futuro, ti chiederei di scrivere titoli specifici (che questo è un esercizio di analisi è superfluo dirlo, visto che siamo nella sezione analisi) e evitare di rappresentare le formule con tentativi di accorpamento lineette e altro.
[/mod]
Il mio intervento non era una dimostrazione di una qualche superiore conoscenza della matematica rispetto a te. T'ho solo mostrato a cosa saresti arrivato; le somme dei primi [tex]$n$[/tex] quadrati o cubi sono abbordabili. 
T'ho solo mostrato a cosa saresti arrivato; le somme dei primi [tex]$n$[/tex] quadrati o cubi sono abbordabili.
Secondo me è un esercizio di matematica discreta, non di analisi.
Si può dimostrare per induzione l'uguaglianza.
Si può dimostrare per induzione l'uguaglianza.
Attenendomi a quanto richiesto nel testo dell'esercizio, dimostrerei la formula come segue:
[tex]\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n}k&=&\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)=\\=\sum_{k=1}^{n}(k+n-k+1)=\sum_{k=1}^{n}(n+1)=(n+1)\sum_{k=1}^{n}1=n(n+1)[/tex]
da cui: [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}[/tex].
Ti torna? Se dovessi avere dei dubbi sulle proprietà delle sommatorie che ho applicato, puoi chiedere tranquillamente.
[tex]\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n}k&=&\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)=\\=\sum_{k=1}^{n}(k+n-k+1)=\sum_{k=1}^{n}(n+1)=(n+1)\sum_{k=1}^{n}1=n(n+1)[/tex]
da cui: [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}[/tex].
Ti torna? Se dovessi avere dei dubbi sulle proprietà delle sommatorie che ho applicato, puoi chiedere tranquillamente.
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