Come studiereste il carattere di questa serie?
Cari utenti vi sottopongo un esercizio di cui vorrei avere la soluzione, voi come lo risolvereste?
$ sum arctan(1/(sqrtk k + 1 )) ; k:= 1rarr oo $
Vi ringrazio per il tempo e la pazienza.
$ sum arctan(1/(sqrtk k + 1 )) ; k:= 1rarr oo $
Vi ringrazio per il tempo e la pazienza.
Risposte
Userei uno sviluppo asintotico per l'arcotangente per capire qual è l'ordine di infinitesimo del termine generale. E' abbastanza evidente che...
Innanzitutto grazie per la risposta; ti espongo le mie conguetture:
considerando il comportamento dell'argomento della arctg noto che all'infinito esso tende ad essere 0; e pensando al comportamento dell'arcotangente nell'origine anch'essa si annulla. Quindi istintivamente direi che la serie converge. Ma avrei bisogno dei passaggi perché non credo che la mia intuizione basti. Ti sarei molto grato se volessi esplicitarli
considerando il comportamento dell'argomento della arctg noto che all'infinito esso tende ad essere 0; e pensando al comportamento dell'arcotangente nell'origine anch'essa si annulla. Quindi istintivamente direi che la serie converge. Ma avrei bisogno dei passaggi perché non credo che la mia intuizione basti. Ti sarei molto grato se volessi esplicitarli
Quello che ti voleva dire Seneca è che
$arctan (1/x) = 1/x+"o"(1/x) " per "x\to +oo$
$arctan (1/x) = 1/x+"o"(1/x) " per "x\to +oo$
Quinzio, grazie anche a te per avermi risposto, e scusa la mia ignoranza; ma potresti gentilmente esplicitarmi i ragionamenti ed i passaggi? Ho veramente bisogno di una visione step-by-step per afferrare anche il metodo generale per studiare delle serie del genere. Giacché quando mi trovo serie più semplici (almeno per me) applico il criterio del confronto, quello del rapporto della radice etc... Ma in questo caso? Verifico la convergenza considerando la prima condizione (quindi limite della funzione associata che tende ad infinito de evessere zero) e poi?
Non c'è un metodo generale...
Conosci il criterio dell'ordine di infinitesimo?
Conosci il criterio dell'ordine di infinitesimo?
Purtroppo no...
Sostanzialmente fai questo ragionamento qua:
$arctan(y) = y + o(y)$ per $y -> 0$, quindi:
$arctan(1/(sqrt(k) k + 1)) = 1/(sqrt(k) k + 1) + o (1/(sqrt(k) k + 1))$ per $k -> +oo$.
Allora se converge $sum 1/(sqrt(k) k + 1)$, converge anche la serie di partenza $sum arctan(1/(sqrt(k) k + 1))$.
Questo fatto se non mi sbaglio si dimostra impiegando il criterio del confronto che conosci anche tu.
Gran parte del lavoro è fatto; infatti $sum 1/(sqrt(k) k + 1) < +oo$ (sai dirmi il perché?).
$arctan(y) = y + o(y)$ per $y -> 0$, quindi:
$arctan(1/(sqrt(k) k + 1)) = 1/(sqrt(k) k + 1) + o (1/(sqrt(k) k + 1))$ per $k -> +oo$.
Allora se converge $sum 1/(sqrt(k) k + 1)$, converge anche la serie di partenza $sum arctan(1/(sqrt(k) k + 1))$.
Questo fatto se non mi sbaglio si dimostra impiegando il criterio del confronto che conosci anche tu.
Gran parte del lavoro è fatto; infatti $sum 1/(sqrt(k) k + 1) < +oo$ (sai dirmi il perché?).
$sum 1/(sqrt(k) k + 1) < +oo$
poiché approssimando
$sum 1/(sqrt(k) k + 1) $ a $sum 1/(k^{3/2}) $
e applicando il criterio della radice
$ lim_{k->+oo} root(k){a_{k}} < 1 -> $ convergente
trovo che
$ lim_{k->+oo} root(3/2){(1/k)^{3/2}} rarr lim_{k->+oo} 1/k = 0 < 1 $
Ergo se non ho toppato niente
la serie converge.
Potresti spiegarmi la considerazione di che hai fatto quando sei passato dall'arcotangente alla funzione associata + o(x)?
Grazie mille per la vostra disponibilità ragazzi!
poiché approssimando
$sum 1/(sqrt(k) k + 1) $ a $sum 1/(k^{3/2}) $
e applicando il criterio della radice
$ lim_{k->+oo} root(k){a_{k}} < 1 -> $ convergente
trovo che
$ lim_{k->+oo} root(3/2){(1/k)^{3/2}} rarr lim_{k->+oo} 1/k = 0 < 1 $
Ergo se non ho toppato niente
la serie converge.Potresti spiegarmi la considerazione di che hai fatto quando sei passato dall'arcotangente alla funzione associata + o(x)?
Grazie mille per la vostra disponibilità ragazzi!
Hai toppato. Per usare quel criterio devi prendere la radice $k$-esima...
In generale hai questo risultato: $sum 1/k^(alpha)$ converge se $alpha > 1$ (lo si può dimostrare per esempio con il criterio di condensazione di Cantor).
In generale hai questo risultato: $sum 1/k^(alpha)$ converge se $alpha > 1$ (lo si può dimostrare per esempio con il criterio di condensazione di Cantor).
"Fandonius":
Potresti spiegarmi la considerazione di che hai fatto quando sei passato dall'arcotangente alla funzione associata + o(x)?
Sai che $lim_(k -> +oo) arctan(1/(sqrt(k) k + 1))/(1/(sqrt(k) k + 1)) = 1$.
Fissa $epsilon > 0$. In corrispondenza di questo, per la definzione di limite, esiste un $bar k$ tale che da $bar k$ in poi si ha:
$1 - epsilon <= arctan(1/(sqrt(k) k + 1))/(1/(sqrt(k) k + 1)) <= 1 + epsilon$
In particolare:
$arctan(1/(sqrt(k) k + 1)) <= (1 + epsilon) * 1/(sqrt(k) k + 1) $
$1 + epsilon$ è una costante. Da un certo indice in poi riesci a maggiorare il termine generale della tua serie con la successione: $(1 + epsilon) * 1/(sqrt(k) k + 1)$. Usando il criterio del confronto, convergendo $ (1 + epsilon) * sum 1/(sqrt(k) k + 1)$ , converge anche la serie con l'arcotangente. Capirai che questo è un discorso che si può generalizzare...
Quindi se io mi trovo in questa forma qui $sum 1/k^(alpha)$ essa converge se $alpha > 1$ quale che sia k.
Mentre per sempio la serie armonica $sum 1/k$ diverge. Potresti aiutarmi a capire perché?
Grazie per le risposte e per il tuo tempo.
Mentre per sempio la serie armonica $sum 1/k$ diverge. Potresti aiutarmi a capire perché?
Grazie per le risposte e per il tuo tempo.
"Fandonius":
Quindi se io mi trovo in questa forma qui $sum 1/k^(alpha)$ essa converge se $alpha > 1$ quale che sia k.
$k$ è l'indice che corre, quindi non ha molto senso dire "quale che sia $k$". Una serie di questo tipo è completamente data una volta assegnato un valore ad $alpha$.
"Fandonius":
Mentre per sempio la serie armonica $sum 1/k$ diverge. Potresti aiutarmi a capire perché?
Il perché te l'ho suggerito... Leggiti questo.
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