Come studiare la convergenza di questa serie?
Salve, mi sono appena iscritto a questo forum pur essendomi "avvantaggiato" delle discussioni che si sono accumulate negli anni. Per venire al sodo, sono al primo anno di Fisica e sto preparando l'esame di analisi 1. Tra gli esercizi ho trovato questa serie:
\[ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\ln(n^\alpha + 2n)} \] di cui bisogna studiare la convergenza per \( \alpha\in\mathbb{R} \).
Ho provato ad utilizzare il criterio di Cauchy per la convergenza ma non sono uscito a cavarne niente, il criterio del confronto e della radice sembrano troppo laboriosi. Ho provato anche a studiare studiare l'integrale improprio corrispondente ma sembra che io non riesca a cavarne nulla. Qualcuno ha un suggerimento, "una spintarella"? Grazie in anticipo.
\[ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\ln(n^\alpha + 2n)} \] di cui bisogna studiare la convergenza per \( \alpha\in\mathbb{R} \).
Ho provato ad utilizzare il criterio di Cauchy per la convergenza ma non sono uscito a cavarne niente, il criterio del confronto e della radice sembrano troppo laboriosi. Ho provato anche a studiare studiare l'integrale improprio corrispondente ma sembra che io non riesca a cavarne nulla. Qualcuno ha un suggerimento, "una spintarella"? Grazie in anticipo.
Risposte
Intanto, poiché:
$[\alpha lt= 1] rarr [lim_(n->+oo)(1/ln(n^\alpha+2n))/(1/lnn)=lim_(n->+oo)lnn/(lnn+ln(n^(\alpha-1)+2))=1]$
per il criterio del confronto asintotico le serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/ln(n^\alpha+2n)]$ e $[\sum_{n=1}^(+oo)1/lnn]$ hanno lo stesso comportamento. Inoltre, poiché:
$[n gt lnn] rarr [1/n lt 1/lnn]$
per il criterio del confronto la serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/lnn]$ diverge. Ergo, anche la serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/ln(n^\alpha+2n)]$ diverge.
Nel caso in cui $[\alpha gt 1]$, si procede come sopra a partire da un confronto asintotico con la serie divergente $[\sum_{n=1}^(+oo)1/lnn^(\alpha)]$. In definitiva, la serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/ln(n^\alpha+2n)]$ diverge $[AA \alpha in RR]$.
$[\alpha lt= 1] rarr [lim_(n->+oo)(1/ln(n^\alpha+2n))/(1/lnn)=lim_(n->+oo)lnn/(lnn+ln(n^(\alpha-1)+2))=1]$
per il criterio del confronto asintotico le serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/ln(n^\alpha+2n)]$ e $[\sum_{n=1}^(+oo)1/lnn]$ hanno lo stesso comportamento. Inoltre, poiché:
$[n gt lnn] rarr [1/n lt 1/lnn]$
per il criterio del confronto la serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/lnn]$ diverge. Ergo, anche la serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/ln(n^\alpha+2n)]$ diverge.
Nel caso in cui $[\alpha gt 1]$, si procede come sopra a partire da un confronto asintotico con la serie divergente $[\sum_{n=1}^(+oo)1/lnn^(\alpha)]$. In definitiva, la serie $[\sum_{n=1}^(+oo)1/ln(n^\alpha+2n)]$ diverge $[AA \alpha in RR]$.
Grazie mille. Chiarissimo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo