Come stabilire se una funzione è differenziabile
salve sto studiando limiti e derivarte di funzioni in 2 variabili.
il mio dubbio era: data una funzione in 2 variabili f(x,y) come posso stabilire se questa è differenziabile in un punto?
so che per verificare la continuità devo calcolare il limite nel punto , per la derivabilità devo confrontare le derivate sx dx nel punto però non so come verificare la differenziabilità.
come posso fare?
grazie
il mio dubbio era: data una funzione in 2 variabili f(x,y) come posso stabilire se questa è differenziabile in un punto?
so che per verificare la continuità devo calcolare il limite nel punto , per la derivabilità devo confrontare le derivate sx dx nel punto però non so come verificare la differenziabilità.
come posso fare?
grazie
Risposte
Ciao. Qual'è la definizione di funzione differenziabile in un punto? 
PS:
[size=85]
Che vuol dire "confrontare le derivate sx e dx"?
Ad un punto ti ci puoi "avvicinare" da infinite direzioni, quindi non ha più senso parlare di destra e sinistra per le funzioni di più variabili (che sono un po' come l'Italia di oggi insomma 
)
[/size]
PS:
[size=85]
"lilengels":
per la derivabilità devo confrontare le derivate sx dx nel punto
Che vuol dire "confrontare le derivate sx e dx"?
Ad un punto ti ci puoi "avvicinare" da infinite direzioni, quindi non ha più senso parlare di destra e sinistra per le funzioni di più variabili (che sono un po' come l'Italia di oggi insomma )[/size]
"Plepp":
Ciao. Qual'è la definizione di funzione differenziabile in un punto?
PS:
[size=85][quote="lilengels"] per la derivabilità devo confrontare le derivate sx dx nel punto
Che vuol dire "confrontare le derivate sx e dx"?
Ad un punto ti ci puoi "avvicinare" da infinite direzioni, quindi non ha più senso parlare di destra e sinistra per le funzioni di più variabili (che sono un po' come l'Italia di oggi insomma )[/size][/quote]
si si scusami! intendevo dire calcolare la derivata nel punto
"Plepp":
Ciao. Qual'è la definizione di funzione differenziabile in un punto?
il fatto è che non ho ben capito la differnza tra derivabilità e differenziabilità
Mmm...ti consiglio farti una bella lettura del tuo libro d'Analisi allora
Vabè, in sintesi, una funzione $f:X\subseteq RR^N\to RR$ si dice parzialmente derivabile rispetto all'$i$-esima variabile $x_i$ nel punto $\mathbf{x}_0=(x_{1,0}, ... , x_{i,0}, ... , x_{N,0})\in X$ se
\[\exists \lim_{t\to 0}\dfrac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{u}_i) - f(\mathbf{x}_0)}{t}=: \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x}_0)\in \mathbb{R}\]
($\mathbf{u}_i$ è l'$i$-esimo versore della base canonica di $RR^N$) e tale limite si dice derivata parziale di $f$ nel punto $\mathbf{x}_0$ rispetto alla variabile $x_i$.
Se esistono tutte le derivate parziali (non devono necessariamente essere tutte uguali) di $f$ in $\mathbf{x}_0$, allora diciamo che $f$ è derivabile in $\mathbf{x}_0$.
Invece, $f$, definita come prima, si dice differenziabile in $\mathbf{x}_0$ se
\[\exists \lim_{\mathbf{k}\to \mathbf{0}} \dfrac{f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{k}) - f(\mathbf{x}_0) -\nabla f(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{k}}{|| \mathbf{k}||}=0\]
con $\mathbf{k}=(k_1,..., k_N)$ e $\nabla f$ suppongo tu sappia cos'è. Con $\cdot$ è indicato il prodotto scalare.
Se $f$ è differenziabile in un punto, allora $f$ è anche derivabile in quel punto, ma non è vero il viceversa.
Di più di questo non saprei che dirti magari esprimi in maniera più precisa i tuoi dubbi e ne riparliamo.
Ciao
Plepp
Vabè, in sintesi, una funzione $f:X\subseteq RR^N\to RR$ si dice parzialmente derivabile rispetto all'$i$-esima variabile $x_i$ nel punto $\mathbf{x}_0=(x_{1,0}, ... , x_{i,0}, ... , x_{N,0})\in X$ se
\[\exists \lim_{t\to 0}\dfrac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{u}_i) - f(\mathbf{x}_0)}{t}=: \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x}_0)\in \mathbb{R}\]
($\mathbf{u}_i$ è l'$i$-esimo versore della base canonica di $RR^N$) e tale limite si dice derivata parziale di $f$ nel punto $\mathbf{x}_0$ rispetto alla variabile $x_i$.
Se esistono tutte le derivate parziali (non devono necessariamente essere tutte uguali) di $f$ in $\mathbf{x}_0$, allora diciamo che $f$ è derivabile in $\mathbf{x}_0$.
Invece, $f$, definita come prima, si dice differenziabile in $\mathbf{x}_0$ se
\[\exists \lim_{\mathbf{k}\to \mathbf{0}} \dfrac{f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{k}) - f(\mathbf{x}_0) -\nabla f(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{k}}{|| \mathbf{k}||}=0\]
con $\mathbf{k}=(k_1,..., k_N)$ e $\nabla f$ suppongo tu sappia cos'è. Con $\cdot$ è indicato il prodotto scalare.
Se $f$ è differenziabile in un punto, allora $f$ è anche derivabile in quel punto, ma non è vero il viceversa.
Di più di questo non saprei che dirti
magari esprimi in maniera più precisa i tuoi dubbi e ne riparliamo.Ciao
Plepp
Ho dei dubbi pure io sul verificare la differenziabilità. Ho un esercizio che chiede di verificare se una funzione è differenziabile.
Nei miei appunti oltre al limite che hai scritto, ho anche l'obbligo di verificare se esiste il gradiente di f(x0). Il gradiente l'ho trovato, ma non ho capito come si usa il secondo punto col limite.
Metto l'esercizio per chiarezza.
$f(x,y) = x^2-3x+4xy+5$ calcolare $\frac{\partial f}{\partial v} (1,1)$ con $v = (-1,2)$
E' un esercizio fatto e risolto a lezione, dicendoci a fiducia che si trattava di una funzione differenziabile.
Come lo verifico?
Nei miei appunti oltre al limite che hai scritto, ho anche l'obbligo di verificare se esiste il gradiente di f(x0). Il gradiente l'ho trovato, ma non ho capito come si usa il secondo punto col limite.
Metto l'esercizio per chiarezza.
$f(x,y) = x^2-3x+4xy+5$ calcolare $\frac{\partial f}{\partial v} (1,1)$ con $v = (-1,2)$
E' un esercizio fatto e risolto a lezione, dicendoci a fiducia che si trattava di una funzione differenziabile.
Come lo verifico?
Un noto teorema ti garantisce che se una funzione ha le derivate parziali continue in un aperto, allora tale funzione è differenziabile in quell'aperto.
Nel tuo caso, le derivate parziali della funzione \(f(x,y):= x^2-3x+4xy+5\) come sono?
***
Ad ogni modo, noto che la definizione di Plepp non è del tutto corretta... O, per lo meno, si può un tantinello rendere più generale.
Invero, una funzione \(f:\Omega \to \mathbb{R}\), con $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$ aperto non vuoto, si dice differenziabile in un punto \(x_0=(x_0^1,\ldots ,x_0^N)\in \Omega\) se esiste un vettore \(u=(u^1,\ldots ,u^N)\in \mathbb{R}^N\) (dipendente da \(x^0\), anche se per comodità non l'ho segnato) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\langle u, x-x_0\rangle}{|x-x_0|} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\sum_{n=1}^N u^n (x^n-x_0^n)}{\sqrt{\sum_{n=1}^N (x^n-x_0^n)^2}} =0\; .
\]
Con questa definizione si dimostra facilmente che se \(f\) è differenziabile in \(x_0\), allora essa è pure derivabile in tale punto (rispetto a tutte le variabili) e che \(f_{x^n} (x_0) = u^n\) (ossia \(\nabla f(x_0)=u\)) e che, come accade per le funzioni differenzibili di un'unica variabile reale, la funzione \(f(x)\) si può approssimare intorno ad \(x_0\) con una funzione affine, i.e.:
\[
T_1(x;x_0) := f(x_0)+\langle \nabla f(x_0), x-x_0\rangle = f(x_0)+\sum_{n=1}^N f_{x^n}(x_0)\ (x^n-x_0^n)\; ,
\]
la quale non è altro che il polinomio di Taylor di grado \(1\) relativo ad \(f\) centrato in \(x_0\).
***
Inoltre, per tornare al tuo esercizio, ricorda che se una funzione \(f\) è differenziabile in un punto \(x_0\), allora essa è derivabile rispetto a tutte le direzioni in tale punto e che vale la formula:
\[
\frac{\partial f}{\partial \nu}(x_0) = \langle \nabla f(x_0),\nu\rangle
\]
per ogni vettore \(\nu\) (questo segue immediatamente dal teorema di derivazione della funzione composta).
Nel tuo caso, le derivate parziali della funzione \(f(x,y):= x^2-3x+4xy+5\) come sono?
***
Ad ogni modo, noto che la definizione di Plepp non è del tutto corretta... O, per lo meno, si può un tantinello rendere più generale.
Invero, una funzione \(f:\Omega \to \mathbb{R}\), con $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$ aperto non vuoto, si dice differenziabile in un punto \(x_0=(x_0^1,\ldots ,x_0^N)\in \Omega\) se esiste un vettore \(u=(u^1,\ldots ,u^N)\in \mathbb{R}^N\) (dipendente da \(x^0\), anche se per comodità non l'ho segnato) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\langle u, x-x_0\rangle}{|x-x_0|} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\sum_{n=1}^N u^n (x^n-x_0^n)}{\sqrt{\sum_{n=1}^N (x^n-x_0^n)^2}} =0\; .
\]
Con questa definizione si dimostra facilmente che se \(f\) è differenziabile in \(x_0\), allora essa è pure derivabile in tale punto (rispetto a tutte le variabili) e che \(f_{x^n} (x_0) = u^n\) (ossia \(\nabla f(x_0)=u\)) e che, come accade per le funzioni differenzibili di un'unica variabile reale, la funzione \(f(x)\) si può approssimare intorno ad \(x_0\) con una funzione affine, i.e.:
\[
T_1(x;x_0) := f(x_0)+\langle \nabla f(x_0), x-x_0\rangle = f(x_0)+\sum_{n=1}^N f_{x^n}(x_0)\ (x^n-x_0^n)\; ,
\]
la quale non è altro che il polinomio di Taylor di grado \(1\) relativo ad \(f\) centrato in \(x_0\).
***
Inoltre, per tornare al tuo esercizio, ricorda che se una funzione \(f\) è differenziabile in un punto \(x_0\), allora essa è derivabile rispetto a tutte le direzioni in tale punto e che vale la formula:
\[
\frac{\partial f}{\partial \nu}(x_0) = \langle \nabla f(x_0),\nu\rangle
\]
per ogni vettore \(\nu\) (questo segue immediatamente dal teorema di derivazione della funzione composta).
@Gugo. La definizione che diedi l'avevo letta su un testo che usavo ad Ingegneria. A parte la scelta - discutibile magari - di introdurre prima il gradiente del differenziale, per cosa differisce da quella che hai enunciato tu? (parliamo di funzioni $RR^N\to RR$ eh!)
(parliamo di funzioni $RR^N\to RR$ eh!)
@ Plepp: Fusco-Marcellini-Sbordone, se non ricordo male...
Beh, ad ogni modo la definizione che ho enunciato sopra non presuppone l'esistenza delle derivate (im)parziali, il che è già buono rispetto alla definizione del F-M-S.
Inoltre, quella che ho proposto è la definizione di differenziale (dovuta a Frechét) che si ritrova in contesti astratti, in cui le derivate (im)parziali non le puoi proprio definire.
Beh, ad ogni modo la definizione che ho enunciato sopra non presuppone l'esistenza delle derivate (im)parziali, il che è già buono rispetto alla definizione del F-M-S.
Inoltre, quella che ho proposto è la definizione di differenziale (dovuta a Frechét) che si ritrova in contesti astratti, in cui le derivate (im)parziali non le puoi proprio definire.
"gugo82":
@ Plepp: Fusco-Marcellini-Sbordone, se non ricordo male...
Beh, ad ogni modo la definizione che ho enunciato sopra non presuppone l'esistenza delle derivate (im)parziali, il che è già buono rispetto alla definizione del F-M-S.
Peggio! Bramanti-Pagani-Salsa
Inoltre, quella che ho proposto è la definizione di differenziale (dovuta a Frechét) che si ritrova in contesti astratti, in cui le derivate (im)parziali non le puoi proprio definire.
Appunto ho precisato il fatto che stessimo parlando di funzioni $RR^N\to RR$, per le quali si dimostra che, se $f$ è differenziabile, il famigerato vettore $u$ della tua definizione è proprio il gradiente.
Sul fatto che una definizione come quella che hai enunciato tu meriti molti più aggettivi positivi rispetto a quella del BPS, non ci sono dubbi (in sostanza, sono consapevole che la definizione che diedi fa schifo
) Il fatto è che tu avevi parlato di "definizione non del tutto corretta", cosa che non mi pare vera, considerato il contesto: voglio dire, se $f:\Omega\subseteq RR^N\to RR$ è differenziabile secondo la definizione di Plepp, allora lo è secondo la definizione di Gugo, e viceversa 
PS. Curiosità: quand'è che comincerò a sentir parlare di calcolo differenziale in Geometria?
(intendo in quale modulo)PPS. Derivate "(im)parziali"?!
Continuo a non capire come fare a dimostrare in senso pratico se è differenziabile una funzione.
Ripeto, la definizione la so ma non so come usarla...
Le derivate parziali le faccio congelando una alla volta le due variabili e facendo la derivata classica della funzione.
Ripeto, la definizione la so ma non so come usarla...
Le derivate parziali le faccio congelando una alla volta le due variabili e facendo la derivata classica della funzione.
"Shika93":
Continuo a non capire come fare a dimostrare in senso pratico se è differenziabile una funzione.
Ripeto, la definizione la so ma non so come usarla...
Le derivate parziali le faccio congelando una alla volta le due variabili e facendo la derivata classica della funzione.
Prendiamo ad esempio una funzione di due variabili, \(f(x,y)\).
In generale, una volta trovate le derivate parziali \(f_x(x_0,y_0)\) ed \(f_y(x_0,y_0)\), se vuoi provare che \(f\) è differenziabile in \((x_0,y_0)\) devi mostrare che vale l'uguaglianza:
\[
\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)-f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)\ (x-x_0) - f_y(x_0,y_0)\ (y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2}}=0\; .
\]
In casi più particolari, si può usare il teorema del differenziale (i.e., derivate parziali continue in un intorno \(\Rightarrow\) differenziabilità).
@Plepp:
"Plepp":
[quote="gugo82"]@ Plepp: Fusco-Marcellini-Sbordone, se non ricordo male...
Beh, ad ogni modo la definizione che ho enunciato sopra non presuppone l'esistenza delle derivate (im)parziali, il che è già buono rispetto alla definizione del F-M-S.
Peggio! Bramanti-Pagani-Salsa
[/quote]
"Plepp":
Sul fatto che una definizione come quella che hai enunciato tu meriti molti più aggettivi positivi rispetto a quella del BPS, non ci sono dubbi (in sostanza, sono consapevole che la definizione che diedi fa schifo
Non posso trovare corretta una definizione in cui si assuma una cosa che si dimostra.
"Plepp":
PS. Curiosità: quand'è che comincerò a sentir parlare di calcolo differenziale in Geometria?
E che ne sò?
Probabilmente in Geometria Differenziale.
"Plepp":
PPS. Derivate "(im)parziali"?!
Piccolo calembour usato del mio docente di Analisi.
"gugo82":
[quote="Plepp"]PS. Curiosità: quand'è che comincerò a sentir parlare di calcolo differenziale in Geometria?
E che ne sò?
Probabilmente in Geometria Differenziale.
[/quote]
Riformulo la domanda. Di norma, per quale $n$ si ha che il calcolo differenziale è oggetto di studio di un corso di Geometria $n$?
"Plepp":
[quote="gugo82"][quote="Plepp"]PS. Curiosità: quand'è che comincerò a sentir parlare di calcolo differenziale in Geometria?
E che ne sò?
Probabilmente in Geometria Differenziale.
[/quote]
Riformulo la domanda. Di norma, per quale $n$ si ha che il calcolo differenziale è oggetto di studio di un corso di Geometria $n$?
[/quote]Data l'autonomia degli atenei nella scelta dei nomi dei corsi e dell'autonomia dei docenti nella scelta dei programmi, la risposta non cambia... Insomma, non c'è una norma, quindi che ne so?!?
Informati sul sito del tuo corso di laurea (sei a Roma, mi pare, no?).
[ot]Quanto sei scorbutico 
comunque no, studio a Bari [/ot]
comunque no, studio a Bari [/ot]
"gugo82":
[quote="Shika93"]Continuo a non capire come fare a dimostrare in senso pratico se è differenziabile una funzione.
Ripeto, la definizione la so ma non so come usarla...
Le derivate parziali le faccio congelando una alla volta le due variabili e facendo la derivata classica della funzione.
Prendiamo ad esempio una funzione di due variabili, \(f(x,y)\).
In generale, una volta trovate le derivate parziali \(f_x(x_0,y_0)\) ed \(f_y(x_0,y_0)\), se vuoi provare che \(f\) è differenziabile in \((x_0,y_0)\) devi mostrare che vale l'uguaglianza:
\[
\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)-f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)\ (x-x_0) - f_y(x_0,y_0)\ (y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2}}=0\; .
\]
In casi più particolari, si può usare il teorema del differenziale (i.e., derivate parziali continue in un intorno \(\Rightarrow\) differenziabilità).
[/quote]
Quindi una volta trovate le derivate parziali le butto dentro quel limite e calcolo come se fossero delle costanti? Cioè, alla fine tutti quelli sono numeri una volta che tendono a x0, y0?
Scusa l'ignoranza ma mi sto perdendo parecchio con ste funzioni. Già con quelle in R si aveva difficoltà; con queste in R^n è ancora peggio! Devo togliermi subito analisi 2! XD
"Shika93":
Quindi una volta trovate le derivate parziali le butto dentro quel limite e calcolo come se fossero delle costanti? Cioè, alla fine tutti quelli sono numeri una volta che tendono a x0, y0?
Quelle (i.e., le derivate parziali) sono numeri!
Guarda che sono entrambe calcolate in un punto fissato.
Ad ogni modo, prova a lavorare concretamente con un esempio.
Posta i tuoi conti e vediamo.
Io ho trovato il gradiente (cioè, la prof) che vale $2x-3+4y,4x$
Fatto questo non so continuare nell'utilizzo della formula. Chi è chi e con cosa lo devo sostituire?
Fatto questo non so continuare nell'utilizzo della formula. Chi è chi e con cosa lo devo sostituire?
"Shika93":
Io ho trovato il gradiente (cioè, la prof) che vale $ 2x-3+4y,4x $
Fatto questo non so continuare nell'utilizzo della formula. Chi è chi e con cosa lo devo sostituire?
Spero in primo luogo che avresti saputo determinare il gradiente anche senza l'aiuto della prof!
In ogni caso, torniamo alla questione... quando si studia la differenziabilità di una funzione, lo si fa in un preciso punto dell'insieme in cui il gradiente è ben definito. Dovresti, infatti, sapere bene che i concetti di continuità, derivabilità e differenziabilità sono locali, e vanno pertanto studiati "punto per punto". Adesso, nel nostro caso specifico, per controllare via definizione che la funzione \( f(x,y) := x^2 - 3x +4xy +5 \) è differenziabile in un generico punto \( (x,y) \) del piano (giacché detta funzione ammette entrambe le derivate parziali in ogni punto del piano) occorrerebbe mostrare che
\[
\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\big ( (x+h)^2 - 3(x+h) +4(x+h)(y+k) + 5 \big ) - \big ( x^2 - 3x + 4xy + 5 \big ) - h \big ( 2x - 3 + 4y \big ) - 4xk}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0.
\]
Ti ho scritto esplicitamente il limite nel caso in esame, così che tu possa distinguere bene in esso i vari pezzi della definizione generale. Fammi sapere se riesci a farlo. Ovviamente, per capire se la funzione è differenziabile in un preciso punto, ad esempio nell'origine \( O = (0,0) \), sarà sufficiente sostituire \( x = 0 = y \) nel limite di cui sopra.
Ciò detto... per evitarti tanti lunghi conti... mi preme dirti che esiste un noto teorema (talvolta detto del differenziale totale) secondo il quale la continuità delle derivate parziali in un intorno di un punto è condizione sufficiente a garantire la differenziabilità in quel punto. Poiché le derivate parziali \( f_x (x,y) = 2x-3+4y \) e \( f_y (x,y) = 4x \) sono continue in tutto il piano, il teorema del differenziale implica immediatamente che la funzione \( f \) è invero differenziabile in ogni punto del piano... senza dover svolgere il limite. Ecco il motivo per cui, in genere, negli esercizi, lo studio della differenziabilità "via definizione" va fatto solo in quei punti in cui detto studio è significativo... ovvero in quei punti in cui il teorema del differenziale non è applicabile.
Si, sono capace anche da solo a trovare le derivate parziali xD O con la definizione, o (più raramente a quanto mi hanno spiegato) come per le derivate a variabile singola, guardando una variabile per volta. Più complicato in R^n vedere se esiste la derivata perchè non si può fare il limite destro e sinistro del rapporto incrementale (che a quanto pare alla fine la definizione della differenziabilità è un rapporto incrementale con più variabili) perchè ci sono infinite rette che passano per il punto e non solo una come in R
Con questo esempio mi togli molti dubbi!
Tra l'altro a quanto pare sono andato avanti di una lezione, infatti oggi è venuto fuori teorema della differenziabilità totale.
Grazie a tutti per la disponibilità e sicuramente tornerò a rompere le balle!
Con questo esempio mi togli molti dubbi!
Tra l'altro a quanto pare sono andato avanti di una lezione, infatti oggi è venuto fuori teorema della differenziabilità totale.
Grazie a tutti per la disponibilità e sicuramente tornerò a rompere le balle!
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