Come si vede se un punto (x0,y0) è un min o max relativo?
Mi interessano solo questi due casi, gli altri li conosco:
1 - Se il determinante hessiano è nullo
2 - Se il det hessiano è positivo ma le derivate seconde pure (fxx e fyy) sono di segno opposto
Nel primo caso so che bisogna effettuare uno studio nei punti nell'intorno di (x0,y0), come si fa? Bisogna farlo anche nel 2° caso?
1 - Se il determinante hessiano è nullo
2 - Se il det hessiano è positivo ma le derivate seconde pure (fxx e fyy) sono di segno opposto
Nel primo caso so che bisogna effettuare uno studio nei punti nell'intorno di (x0,y0), come si fa? Bisogna farlo anche nel 2° caso?
Risposte
"Corbezzoli":
2 - Se il det hessiano è positivo ma le derivate seconde pure (fxx e fyy) sono di segno opposto
Questa condizione è semplicemente impossibile da realizzarsi!!.
Le due derivate parziali seconde, se il determinante della matrice hessiana è positivo, possono essere entrambe positive o entrambe negative e mai discordi nel segno.
Giustifico la risposta:
Prendiamo una funzione [tex]$f \in C^{2}(A)$[/tex] e un punto [tex]$P_0 \in A$[/tex], dove [tex]$A$[/tex] è un insieme aperto di [tex]$\mathbb{R}^{2}$[/tex].
Il determinante della matrice Hessiana è definito in questo modo:
[tex]$H_{f} (P_0) = \begin{vmatrix} f_{xx}(P_0) & f_{xy}(P_0)\\ f_{yx}(P_0) & f_{yy}(P_0) \end{vmatrix} = f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) - f^2 _{xy}(P_0)$[/tex] *
Quindi:
[tex]$H_{f}(P_0)>0$[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) - f^2 _{xy}(P_0) > 0$[/tex]
cioè:
[tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > f^2 _{xy}(P_0) $[/tex]
e quindi, poiché sicuramente [tex]$f^2 _{xy}(P_0) \ge 0$[/tex], ne consegue che anche: [tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 0$[/tex]
Questo si verifica in due casi:
[tex]$f_{xx}(P_0)>0$[/tex] [tex]\wedge[/tex] [tex]$f_{yy}(P_0)>0$[/tex]
oppure
[tex]$f_{xx}(P_0)<0$[/tex] [tex]\wedge[/tex] [tex]$f_{yy}(P_0)<0$[/tex]
Non ci sono altre possibilità!
____________________________
*
Ti faccio notare che [tex]$f_{xy} (P_0) = f_{yx} (P_0)$[/tex], poiché la funzione è di classe [tex]$C^2$[/tex] in [tex]$P_0$[/tex] cioè: [tex]$f \in C^{2}(A)$[/tex]
E, in effetti, il corollario di un teorema, noto come Teorema di Schwarts, afferma che:
Data una funzione [tex]$f:A \subseteq R^2 \to R$[/tex]
Se [tex]$f \in C^2(A) \Leftarrow f_{xy}=f_{yx}$[/tex]
@Mathcrazy: Le disuguaglianze non sono strette (perchè [tex]$f_{xy}^2 (P_0)$[/tex] non dovrebbe poter essere nullo?).
No gugo; probabilmente mi sono espresso male, cioè l'unica correzione che c'è da fare è: [tex]$f^2_{xy} \ge 0$[/tex] , per il resto le altre disuguaglianze sono tutte strette.
Infatti io parto dalla condizione che [tex]$H_{f}(P_0)>0$[/tex].
Da ciò ne consegue, logicamente, che :
[tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > f^2 _{xy}(P_0) $[/tex]
Ora, facendo degli esempi banali:
Se [tex]$ f^2 _{xy}(P_0) = 0 \Rightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 0[/tex]
Se [tex]$ f^2 _{xy}(P_0) = 1 \Rightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 1 > 0[/tex]
[tex]$.....................[/tex]
Se [tex]$f^2 _{xy}(P_0) = n >0 \Rightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > n > 0[/tex]
Cioè, [tex]$f^2 _{xy}(P_0)$[/tex] può anche essere [tex]$0$[/tex]; ma il prodotto è, in ogni caso maggiore stretto di [tex]$0$[/tex]:
[tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 0$[/tex]
dal momento che la condizione iniziale impone: [tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > f^2 _{xy}(P_0) $[/tex]
Non so se ho reso l'idea.
Infatti io parto dalla condizione che [tex]$H_{f}(P_0)>0$[/tex].
Da ciò ne consegue, logicamente, che :
[tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > f^2 _{xy}(P_0) $[/tex]
Ora, facendo degli esempi banali:
Se [tex]$ f^2 _{xy}(P_0) = 0 \Rightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 0[/tex]
Se [tex]$ f^2 _{xy}(P_0) = 1 \Rightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 1 > 0[/tex]
[tex]$.....................[/tex]
Se [tex]$f^2 _{xy}(P_0) = n >0 \Rightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > n > 0[/tex]
Cioè, [tex]$f^2 _{xy}(P_0)$[/tex] può anche essere [tex]$0$[/tex]; ma il prodotto è, in ogni caso maggiore stretto di [tex]$0$[/tex]:
[tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 0$[/tex]
dal momento che la condizione iniziale impone: [tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > f^2 _{xy}(P_0) $[/tex]
Non so se ho reso l'idea.
Complimenti per la dimostrazione di quel fatto (non per la complessita, ma per il formalismo e la rigorosità usata nel darla).
Togliendo quel caso, il 1° come si risolve?
Togliendo quel caso, il 1° come si risolve?
"Corbezzoli":
1 - Se il determinante hessiano è nullo
Si tratta del caso dubbio.
In questi casi potresti,ad esempio, usare la definizione di massimo e minimo relativo.
Cioè nel punto di interesse [tex]$P$[/tex] (o nel luogo di punti) verifichi la disuguaglianza [tex]$f(x,y) \ge f(P)$[/tex].
Sappi che quando dal sistema seguente:
[tex]$\left\{\begin{matrix} f_{x}=0\\ f_{y}=0 \end{matrix}\right$[/tex]
ottieni un luogo di punti critici, in quel luogo il determinante dell'hessiano, si annulla sempre e in questi casi si ragiona quasi sempre con la definizione.
Ok grz, io ho letto che nel caso dubbio si studia la funzione in un intorno del punto dubbio... sai dirmi come si fa questo?
Io verifico il comportamento di una retta in vicinanza del punto dato. Per capire se è crescente, decrescente, o un punto di sella.
Se per esempio il punto è $(0,0)$, effettuo le derivate della funzione $f(x,mx)$, arrivo alla derivata seconda, e verifico se essa è sempre positiva, sempre negativa o se il segno varia in base ad $m$.
E quindi concludo di conseguenza.
Se per esempio il punto è $(0,0)$, effettuo le derivate della funzione $f(x,mx)$, arrivo alla derivata seconda, e verifico se essa è sempre positiva, sempre negativa o se il segno varia in base ad $m$.
E quindi concludo di conseguenza.
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