Come si trovano i punti stazionari in z=[x(y-3)^4]+4.
Ciao ragazzi ho bisogno di una mano per risolvere questo esercizio:
Calcolare i punti stazionari della funzione z=[x(y-3)^4]+4.
So che dovrei fare la derivata parziale di "x e y" metterle a sistema per cercare delle soluzioni. Fatto questo fare le derivate parziali secondo rispetto a x, y, xy,yx In modo da utilizzarle nella matrice bessiana di cui devo calcolare il determinante ecc..
Qualcuno mi puo aiutare scrivendomi il procedimento perché ci questo tipo non ci riesco i fate altre ma questa con quella potenza alla 4* non so come fare.
Grazie
Calcolare i punti stazionari della funzione z=[x(y-3)^4]+4.
So che dovrei fare la derivata parziale di "x e y" metterle a sistema per cercare delle soluzioni. Fatto questo fare le derivate parziali secondo rispetto a x, y, xy,yx In modo da utilizzarle nella matrice bessiana di cui devo calcolare il determinante ecc..
Qualcuno mi puo aiutare scrivendomi il procedimento perché ci questo tipo non ci riesco i fate altre ma questa con quella potenza alla 4* non so come fare.
Grazie
Risposte
Ciao jackmed e benvenuto sul forum,
per sbaglio hai postato due domande identiche, provvedi per favore ad eliminare (usa la crocetta in alto a destra) l'altra, due 3d identici sono inutili e dispersivi!
per sbaglio hai postato due domande identiche, provvedi per favore ad eliminare (usa la crocetta in alto a destra) l'altra, due 3d identici sono inutili e dispersivi!
"gio73":
Ciao jackmed e benvenuto sul forum,
per sbaglio hai postato due domande identiche, provvedi per favore ad eliminare (usa la crocetta in alto a destra) l'altra, due 3d identici sono inutili e dispersivi!
Fatto! Per caso tu non sapresti dare risposta alla mia domanda.
Ciao Jackmed,
mi diverte immaginare il grafico delle funzioni in due variabili, guardarlo come se fosse una superficie topografica con monti, crinali, valli e pozzi. Ho riflettuto sulla tua funzione e mi sono fatta qualche idea, ma non so se il mio modo di ragionare possa esserti utile.
mi diverte immaginare il grafico delle funzioni in due variabili, guardarlo come se fosse una superficie topografica con monti, crinali, valli e pozzi. Ho riflettuto sulla tua funzione e mi sono fatta qualche idea, ma non so se il mio modo di ragionare possa esserti utile.
Penso si possa fare nel seguente modo:
Calcoli le derivate parziali della funzione $del / {del x} f(x,y)=(y-3)^4$ e $del / {del y} f(x,y)=4x(y-3)^3$.
Risolvendo il seguente sistema:
${ ((y-3)^4=0),(4x(y-3)^3=0) :}$
trovi come soluzione il generico punto $(x;3)$ cioè tutti i punti che hanno come ordinata 3 sono punti stazionari.
Per la classificazione si potrebbe analizzare il comportamento della funzione nelle vicinanze di tali punti ad esempio si potrebbe calcolare il valore della funzione in $(x;3+\varepsilon)$ e in $(x;3-\varepsilon)$ e confrontarlo con il valore in $(x;3)$ da cui si vede che per $x>0$ i punti $(x;3)$ sono minimi invece per $ x<0$ sono massimi. Per $x=0$ non si ha né un massimo né un minimo.
Calcoli le derivate parziali della funzione $del / {del x} f(x,y)=(y-3)^4$ e $del / {del y} f(x,y)=4x(y-3)^3$.
Risolvendo il seguente sistema:
${ ((y-3)^4=0),(4x(y-3)^3=0) :}$
trovi come soluzione il generico punto $(x;3)$ cioè tutti i punti che hanno come ordinata 3 sono punti stazionari.
Per la classificazione si potrebbe analizzare il comportamento della funzione nelle vicinanze di tali punti ad esempio si potrebbe calcolare il valore della funzione in $(x;3+\varepsilon)$ e in $(x;3-\varepsilon)$ e confrontarlo con il valore in $(x;3)$ da cui si vede che per $x>0$ i punti $(x;3)$ sono minimi invece per $ x<0$ sono massimi. Per $x=0$ non si ha né un massimo né un minimo.
Grazie tutti I ragazzi Che mi hanno concesso il loro tempo, laura123 grazie a te ho capito il mio esercizio facendo il sistema viene prima che x=0 dato che si divide 4x(y-3)/(y-3) ok! Poi pero non so perché y=3 o meglio io avrei svolto la potenza vedendo così mi pare che venga trattata come una semplice equazione y-3=0 per cui y=3 e la potenza?
Grazie per il resto è tutto chiaro
Grazie per il resto è tutto chiaro
In realtà si risolve la prima equazione che ti da $y=3$ (una potenza è nulla se e solo se la base è 0), sostituendo nella seconda equazione al posto di y il valore 3 si ha che essa è verificata qualsiasi sia il valore di x.
Ps non puoi dividere per $y-3$, tale operazione è consentita solo se $y-3$ è diverso da 0, questo ti farebbe perdere la soluzione $y=3$.
Nota come sui punti $(x;3)$ la funzione sia costantemente uguale a 4.. ecco perchè è bastato spostarsi sopra e sotto 3 e non in un intorno completo.
Ps non puoi dividere per $y-3$, tale operazione è consentita solo se $y-3$ è diverso da 0, questo ti farebbe perdere la soluzione $y=3$.
Nota come sui punti $(x;3)$ la funzione sia costantemente uguale a 4.. ecco perchè è bastato spostarsi sopra e sotto 3 e non in un intorno completo.
Ciao a entrambi,
visto che siete sostanzialmente a posto vorrei eporvi il mio modo di ragionare, ditemi cosa ne pensate.
$z=x(y-3)^4+4$
allora ho notato che le curve di livello sono delle iperboli un po' deformate (d'ora in poi le chiamo semplicemente iperboli, ma non so se è corretto), gli asintoti sono l'asse y e la retta $y=3$, sopra la quota $z=4$ i due rami di iperbole si trovano sopra il semipiano $x>0$ e sono simmetrici rispetto alla retta $y=3$, sotto la quota $z=4$ i due rami di iperbole si trovano nel semipiano $x<0$ e sono simmetrici rispetto alla retta $y=3$, in corrispondenza della quota $z=4$ i rami di iperbole degenerano nelle due rette $y$ e $y=3$, la funzione è positiva se $x(y-3)^4> -4$, negativa per $x(y-3)^4<-4$, l'intersezione col piuano $z=0$ è la curva di equazione $x(y-3)^4=-4$
Io immagino la parte positiva della retta $y=3$ come una valle tutta alla stessa quota $4$, tutti gli altri punti intorno sono più alti, se metto una pallina in uno qualsiasi dei punti della valle e la sposto in qualsiasi direzione tranne quella della retta tenderà a tornare giù (equilibrio stabile) se la sposto lungo la direzione della semiretta resta dove l'ho messa (equilibrio indifferente) .
La semiretta opposta invece come un crinale dove i punti sono sempre alla stessa quota $4$ mentre i punti intorno sono più bassi, se sposto la pallina dalla cima si allontanerà sempre di più (equilibrio instabile), lungo la semiretta mi trovo sempre nella condizione di equilibrio indifferente.
visto che siete sostanzialmente a posto vorrei eporvi il mio modo di ragionare, ditemi cosa ne pensate.
$z=x(y-3)^4+4$
allora ho notato che le curve di livello sono delle iperboli un po' deformate (d'ora in poi le chiamo semplicemente iperboli, ma non so se è corretto), gli asintoti sono l'asse y e la retta $y=3$, sopra la quota $z=4$ i due rami di iperbole si trovano sopra il semipiano $x>0$ e sono simmetrici rispetto alla retta $y=3$, sotto la quota $z=4$ i due rami di iperbole si trovano nel semipiano $x<0$ e sono simmetrici rispetto alla retta $y=3$, in corrispondenza della quota $z=4$ i rami di iperbole degenerano nelle due rette $y$ e $y=3$, la funzione è positiva se $x(y-3)^4> -4$, negativa per $x(y-3)^4<-4$, l'intersezione col piuano $z=0$ è la curva di equazione $x(y-3)^4=-4$
Io immagino la parte positiva della retta $y=3$ come una valle tutta alla stessa quota $4$, tutti gli altri punti intorno sono più alti, se metto una pallina in uno qualsiasi dei punti della valle e la sposto in qualsiasi direzione tranne quella della retta tenderà a tornare giù (equilibrio stabile) se la sposto lungo la direzione della semiretta resta dove l'ho messa (equilibrio indifferente) .
La semiretta opposta invece come un crinale dove i punti sono sempre alla stessa quota $4$ mentre i punti intorno sono più bassi, se sposto la pallina dalla cima si allontanerà sempre di più (equilibrio instabile), lungo la semiretta mi trovo sempre nella condizione di equilibrio indifferente.
In effetti penso vada bene anche un ragionamento del genere anche se le linee di livello in questione non sono proprio iperboli schiacciate. Riporto qui sotto il grafico di alcune di esse:
sono curve simmetriche rispetto a $y=3$.
Gli andamenti della funzione sono come quelli che dici tu. Il grafico è riportato sotto:
dove si può osservare che la funzione è costantemente uguale a 4 lungo i punti del tipo $(x;3)$
sono curve simmetriche rispetto a $y=3$.
Gli andamenti della funzione sono come quelli che dici tu. Il grafico è riportato sotto:
dove si può osservare che la funzione è costantemente uguale a 4 lungo i punti del tipo $(x;3)$
Ciao laura, anche i punti del tipo $(0;y)$ si trovano a quota 4
Con questa idea però mi verrebbe da dire che anche il punto $(0;3)$ è stazionario, ma non ne sono affatto sicura, tu che ne pensi?
Con questa idea però mi verrebbe da dire che anche il punto $(0;3)$ è stazionario, ma non ne sono affatto sicura, tu che ne pensi?
Si il punto $(0;3)$ è ovviamente stazionario infatti annulla le derivate prime ma non può essere né un massimo né un minimo infatti spostandoti nelle vicinanze (in un intorno circolare) ci sono punti più alti e punti più bassi di 4. Come dici tu anche i punti $(0;y)$ sono ad altezza 4 ma non sono stazionari (tranne per $y=3$) infatti mettendo la pallina in corrispondenza di questi essa si muoverà.
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